Rozwiązać w liczbach naturalnych układ równań

[kasiczka15m]

Rozwiązać w liczbach naturalnych układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy=120\\ [x,y]=30 \end{cases}}\)

[Zordon]

ze wzoru \(\displaystyle{ nwd(x,y)\cdot nww(x,y)=xy}\) wylicz \(\displaystyle{ d=nwd(x,y)}\)
Potem:
\(\displaystyle{ x=dx'}\)
\(\displaystyle{ y=dy'}\)
\(\displaystyle{ x',y'}\) względnie pierwsze, rozważ przypadki.

[kasiczka15m]

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x,y)=4 \\ [x,y]=3 \end{cases} \begin{cases} x=4x'\\ y=4y'\end{cases}}\) i (x',y')=1 wtedy
\(\displaystyle{ \begin{cases} (4x',4y')=4\\ [4x',4y']=30\end{cases}
\begin{cases} 4(x',y')=4\\ 4[x',y']=30 \end{cases}
\begin{cases} (x',y')=1\\ [x',y']= \frac{30}{4} \end{cases}}\) a 30 nie dzieli sie przez 4..

[Qń]

A zatem układ jest sprzeczny.

Q.

[kasiczka15m]

czyli nie ma rozwiazania w liczbach naturalnych. Dzieki