Liczby pierwsze

[kasiczka15m]

1.Niech \(\displaystyle{ p \in P, p>2}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ 1^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot\ldots\cdot (p-2)^{2} = (-1)^{ \frac{p+1}{2} } \mod p}\)


2. Dla jakich liczb pierwszych nieparzystych liczba -3 jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ p}\)?

[arek1357]

zauważmy że:

\(\displaystyle{ 1^{2}=1(1-p)=(-1) \cdot 1 \cdot (p-1)}\)

\(\displaystyle{ 3^{2}=3(3-p)=(-1) \cdot 3 \cdot (p-3)}\)

...........................................................

\(\displaystyle{ (p-2)^{2}=(p-2) \cdot [(p-2)-p]=(-1) \cdot (p-2) \cdot 2}\)

pomnożymy to ostatnie stronami i otrzymamy:

\(\displaystyle{ (p-1)!(-1)^{ \frac{p-1}{2}}=(-1) \cdot (-1)^{ \frac{p-1}{2}}=(-1)^{ \frac{p+1}{2} }}\)

ostatnie przejście jest z Wilsona!

-- 29 stycznia 2012, 15:32 --

Oczywiście wszystkie te równości są modulo \(\displaystyle{ p!}\)

[arek7531]

Sposób definiowania pewnych wielkości jest tylko moją i wyłącznie moją sprawą

Chciałem zauważyć, że mnożenie modulo to inne mnożenie niż normalne
dlatego z definicji:

def:

\(\displaystyle{ \cdot{(\mod)} =*}\)



zad 2:

\(\displaystyle{ ( \frac{-3}{p} )=( \frac{-1}{p} )*( \frac{3}{p} )=(-1)^{ \frac{p-1}{2} }*3^{ \frac{p-1}{2}}}\)

teraz trzeba sobie pokombinować kiedy p-1 podzielne przez 4 a kiedy nie!

[kasiczka15m]

W takim razie \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}=0\pmod{4}}\) jest tak dla \(\displaystyle{ p=9,17,33,49..}\) tylko jak to poprawnie sformułować?

[arek1357]

dla :

\(\displaystyle{ p=4k+1}\)

wynik wyjdzie: \(\displaystyle{ (-1)^{2k} \cdot 3^{2k}=p-1}\)

dla:

\(\displaystyle{ p \neq 4k+1}\)

będzie:

\(\displaystyle{ (-1)^{2k+1}3^{2k+1}=-1 \cdot 3^{2k+1}=-(p-1)=1}\)

[Zordon]

\(\displaystyle{ 3^{\frac{p-1}{2}}}\) można zdecydowanie zwinąć do milszej postaci, bo w takiej to dalej nic nie wiadomo.

edit: chociaż chyba wyżej to właśnie robisz, tylko zastanawia mnie skąd Ci się te równości biorą

[arek1357]

te równości się biorą hmmm z głowy bo 2k, czy 2k-1 to połowa p-1
i rozpatruję przypadki .

[Zordon]

chodzi mi o to jak wyliczasz np. \(\displaystyle{ 3^{2k}}\) bo wyżej widać tylko wyniki

[arek1357]

ja biorę stąd:

mianowicie:

wiadomo, że: np dla ilorazu parzystego:

\(\displaystyle{ 3^{2k}3^{2k}=3^{p-1}=1}\)

stąd:

\(\displaystyle{ 3^{2k}=p-1}\)