Funkcja i jej zachowanie w nieskończoności

[matemix]

Rozważmy pewną funkcję \(\displaystyle{ T(n)}\) która przekształca liczby całkowite w liczbę \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) o następujących własnościach:

1. Załóżmy, że zbiór liczb całkowitych dodatnich dla których funkcja przyjmuje \(\displaystyle{ 2}\) ma gęstość zerową w zbiorze liczb całkowitych dodatnich, a dla pozostałych liczb spoza tego zbioru funkcja przyjmuje \(\displaystyle{ 1}\).

2. Ponad to funkcja ta także dla prawie wszystkich liczb całkowitych ujemnych z zerem przyjmuje \(\displaystyle{ 1}\), czyli zbiór liczb całkowitych ujemnych z zerem dla których funkcja przyjmuje \(\displaystyle{ 2}\) ma także gęstość zerową w zbiorze liczb całkowitych ujemnych z zerem.

3. Dodatkowo funkcja ta dla każdej liczby ujemnej całkowitej z zerem przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 2}\) na przykład dla liczby \(\displaystyle{ 2^{3}}\), ale gdy rozważymy przypadek liczby \(\displaystyle{ 2^{n}}\) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności, to fukcja może przyjmować granicznie \(\displaystyle{ 1}\). W przeciwnym wypadku stałoby to w sprzeczności z poprzednim założeniem.

4. Ponadto funkcja ta przejawia pewną symetrię dla liczb dodatnich i ujemnych z zerem. Mianowice funkcja ta dla liczby \(\displaystyle{ 2^{n}}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności przyjmuje tą samą wartośc co dla liczby \(\displaystyle{ 0}\). Natomiast dla liczby \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności przyjmuje tą samą wartość co dla liczby \(\displaystyle{ -1}\). Ogólnie dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) dla liczby \(\displaystyle{ 2^{n}-k}\) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności przyjmuje ona tą samą wartość co dla liczby \(\displaystyle{ -k}\). Wniosek: z punktu 3 i 4 wynika, że w nieskończoności dla liczb całkowitych dodatnich funkcja ta przyjmuje tylko \(\displaystyle{ 2}\).

5. I odwrotnie: dla liczby \(\displaystyle{ -2^{n}+1}\) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności funkcja ta przyjmuje wartość tą samą co dla liczby \(\displaystyle{ 1}\), ogólnie dla liczby \(\displaystyle{ -2^{n}+k}\) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności funkcja ta przyjmuje tą samą wartość co dla liczby \(\displaystyle{ k}\).


Pytanie czy znając te własności możemy być pewni, że funkcja ta nie przyjmie wartości \(\displaystyle{ 2}\) dla żadnej liczby całkowitej dodatniej? Czyli, czy z tych założeń wynika, że funkcja ta dla każdej liczby całkowitej dodatniej przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\)?

[Zordon]

co rozumiesz przez "skończoną liczbę całkowitą"?

[matemix]

co rozumiesz przez "skończoną liczbę całkowitą"?

Właściwie dowolną liczbę całkowitą, ale za taką nie można uznać na przykład \(\displaystyle{ 2^{n}}\), gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności.

[Qń]

dowolną liczbę całkowitą, ale za taką nie można uznać na przykład \(\displaystyle{ 2^{n}}\), gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności.

Co to znaczy? Przecież wyrażenie \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}2^n}\) to nie liczba całkowita. A \(\displaystyle{ 2^n}\) to liczba całkowita dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego.

Q.

[matemix]

No tak. W takim razie przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności chodzi o granicę, a nie o liczbę. Tylko, że wtedy granica wynosi nieskończoność, podobnie dla \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\) wynosi nieskończoność, tymczasem dla tego odwzorowania, to nie to samo. Tzn. inną wartość może ono przyjmować dla \(\displaystyle{ 2^{n}}\) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności i inną dla \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności.

[Qń]

Sprecyzuj więc jak brzmi odpowiedź na pytanie Zordona.

Q.

[matemix]

Jest to liczba \(\displaystyle{ 0}\) oraz liczby które możemy utworzyć poprzez dodanie do liczby 0 skończonej sumy liczb 1, w przypadku liczb ujemnych liczby te są pomnożone razy \(\displaystyle{ -1}\).

[Qń]

Aha, czyli chodzi po prostu o liczby całkowite dodatnie i też liczby całkowite ujemne. Proponuję, żebyś w takim razie przeedytował swój pierwszy post i wykasował wszystkie przymiotniki "skończony" - to przecież masz na myśli, a łatwiej będzie się czytało gdy w tym poście będzie mniej niematematycznych sformułowań.

Q.

[matemix]

Ok.

[Qń]

Nie przypuszczam, żeby były to wszystkie błędy w tym co napisałeś, ale dwa są szczególnie rażące:
- po pierwsze to, że funkcja przyjmuje wartość jeden prawie wszędzie i to, że gęstość argumentów dla których przyjmuje wartość dwa jest równa zero - to dwie różne rzeczy. "Prawie wszędzie" to tyle co "wszędzie z wyjątkiem skończonej ilości". A zbiory nieskończone też mogą mieć gęstość zero (na przykład zbiór kwadratów liczb naturalnych w zbiorze liczb naturalnych).
- po drugie, odnośnie punktu 3, to jest on bardzo nieściśle (żeby nie powiedzieć: bez sensu) sformułowany, ale jeśli masz na myśli coś w stylu, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego ujemnego jest \(\displaystyle{ f(n)=2}\), ale \(\displaystyle{ \lim_{n\to -\infty}f(n)=1}\), to taka sytuacja nie jest możliwa. Tak samo nie jest możliwe, żeby dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) było \(\displaystyle{ f(2^n)=2}\), ale \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(2^n)=1}\).

Q.

[matemix]

Nie przypuszczam, żeby były to wszystkie błędy w tym co napisałeś, ale dwa są szczególnie rażące:
- po pierwsze to, że funkcja przyjmuje wartość jeden prawie wszędzie i to, że gęstość argumentów dla których przyjmuje wartość dwa jest równa zero - to dwie różne rzeczy. "Prawie wszędzie" to tyle co "wszędzie z wyjątkiem skończonej ilości". A zbiory nieskończone też mogą mieć gęstość zero (na przykład zbiór kwadratów liczb naturalnych w zbiorze liczb naturalnych).

Ok, poprawiłem to, nie chodziło mi w takim razie o "prawie wszędzie".

- po drugie, odnośnie punktu 3, to jest on bardzo nieściśle (żeby nie powiedzieć: bez sensu) sformułowany, ale jeśli masz na myśli coś w stylu, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) całkowitego ujemnego jest \(\displaystyle{ f(n)=2}\), ale \(\displaystyle{ \lim_{n\to -\infty}f(n)=1}\), to taka sytuacja nie jest możliwa. Tak samo nie jest możliwe, żeby dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) było \(\displaystyle{ f(2^n)=2}\), ale \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f(2^n)=1}\).

Q.

A dlaczego nie jest możliwa? Przecież, jeżeli rozważamy dowolne \(\displaystyle{ n}\) całkowite ujemne to mówimy o liczbie, natomiast tu w granicy \(\displaystyle{ \lim_{n\to -\infty}f(n)=1}\) argumentem funkcji nie jest liczba. A zatem wydaje się, że warunek dotyczący liczb może tu nie obowiązywać.

[Qń]

Jeśli stale jest \(\displaystyle{ f(n)=2}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} f(n)= \lim_{n\to \infty}2=2}\)

Granica ciągu stale równego \(\displaystyle{ c}\) jest równa \(\displaystyle{ c}\) - za moich czasów tego typu faktów nauczano w liceum.

Pisanie, że "w granicy argumentem funkcji nie jest liczba" z matematycznego punktu widzenia jest bez sensu. Być może masz na myśli równość:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(x_n)= f(\lim_{n\to\infty}x_n)}\)
ale ta równość jest prawdziwa wyłącznie wtedy gdy ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny do skończonej granicy i gdy funkcja jest ciągła.

Q.

[matemix]

Jeśli stale jest \(\displaystyle{ f(n)=2}\), to:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} f(n)= \lim_{n\to \infty}2=2}\)

Granica ciągu stale równego \(\displaystyle{ c}\) jest równa \(\displaystyle{ c}\) - za moich czasów tego typu faktów nauczano w liceum.

No tak, to oczywiste.

Pisanie, że "w granicy argumentem funkcji nie jest liczba" z matematycznego punktu widzenia jest bez sensu. Być może masz na myśli równość:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(x_n)= f(\lim_{n\to\infty}x_n)}\)
ale ta równość jest prawdziwa wyłącznie wtedy gdy ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny do skończonej granicy i gdy funkcja jest ciągła.

Q.

No dobrze, napiszę trochę bardziej szczegółowo co mam na myśli. Weźmy jakąś funkcję która dla każdej liczby całkowitej generuje nieskończony ciąg \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\). Funkcja ta każdej liczbie całkowitej dodatniej przyporządkowuje inny ciąg zer i jedynek, ponadto dla liczb całkowitych dodatnich od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ n+2^{i}-1}\) (czyli dla kolejnych \(\displaystyle{ 2^{i}}\) liczb) ciągi te realizują kolejno wszystkie i - wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru dwuelementowego (\(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\)). Funkcja zachowuje się zatem tak jakby realizowała idealny proces Bernoulliego z prawdpodobieństwem \(\displaystyle{ 0,5}\). Przykładowa macierz liczb oraz ciągów dla liczb od \(\displaystyle{ 5}\) do \(\displaystyle{ 5+2^3-1}\):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&6&7&8&9&10&11&12\\1&0&1&0&1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1&1&0\\0&1&1&0&1&0&0&1\end{bmatrix}}\)

Rozważmy teraz dla każdej liczby sumy wyrazów tych ciągów podzielone przez ilość sumowanych wyrazów. Suma dla jakiejś liczby \(\displaystyle{ k}\) wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_{i}}\) podzielona przez ilość tych wyrazów:

\(\displaystyle{ S_{k} = \frac {\sum_{i=1}^{n} a_{i}}{n}}\)

Rozważmy teraz przypadki sum, gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności:

\(\displaystyle{ g_{k} = \lim_{n\to\infty} \frac {\sum_{i=1}^{n} a_{i}}{n}}\)

Podzielmy ciągi na takie dla których ta granica jest \(\displaystyle{ g < \frac {ln(2)}{ln(3)}}\) oraz takie dla których \(\displaystyle{ g \ge \frac {ln(2)}{ln(3)}}\). Weźmy funkcję która dla jakiejś liczby całkowitej zwraca \(\displaystyle{ 1}\) gdy \(\displaystyle{ g < \frac {ln(2)}{ln(3)}}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\) gdy \(\displaystyle{ g \ge \frac {ln(2)}{ln(3)}}\).

Istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich dla których funkcja przyjmuje \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\), jednak gęstość liczb dla których funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 2}\) jest zerowa w zbiorze liczb całkowitych dodatnich.

Natomiast jeżeli chodzi o liczby ujemne z zerem to ciągi dla tych liczb są takie same jak dla liczb dodatnich, ale mają inną kolejność. To znaczy liczba \(\displaystyle{ 0}\) ma ten sam ciąg co liczba dodatnia \(\displaystyle{ 2^{n}}\) przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności, a liczby \(\displaystyle{ -k}\) mają te same ciągi co liczby \(\displaystyle{ 2^{n}-k}\), przy \(\displaystyle{ n}\) dążącym do nieskończoności.

Zatem wśród liczb ujemnych także istnieje nieskończenie wiele liczb dla których funkcja przyjmuje \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\), jednak gęstość liczb ujemnych dla których funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 2}\) jest zerowa tak samo jak w zbiorze liczb całkowitych dodatnich. Ale skoro przypadków gdy funkcja przyjmuje \(\displaystyle{ 2}\) jest nieskończenie wiele, to możemy sobie wyobrazić taką sytuację, że te ciągi są zadane koleno jeden po drugim zaczynając od liczby \(\displaystyle{ -1,-2,-3,...}\) i tak dalej. W takim przypadku nigdy nie znajdziemy licby ujemnej dla której funkcja przyjmie wartość \(\displaystyle{ 1}\), pomimo, że gęstość zbioru liczb dla których funkcja przyjmuje \(\displaystyle{ 2}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\).-- 29 stycznia 2012, 23:19 --Podobnie jest, jeżeli weźmiemy nieskończony zbiór liczb \(\displaystyle{ 2^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,2,...}\). Ma on zerową gęstość w zbiorze liczb naturalnych. Ale jeżeli weźmiemy zbiór liczb naturalnych i pogrupujemy go w taki sposób, że na samym początku będą wszystkie liczby \(\displaystyle{ 2^{n}}\):

\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=2}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=4}\)
\(\displaystyle{ a_{4}=8}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ a_{k}=3}\)
\(\displaystyle{ a_{k+1}=5}\)
itd.

To nie da się podać liczby porządkowej wyrazu tego zbioru dla której przyjmuje on wartość inną niż jakaś liczba \(\displaystyle{ 2^{n}}\). Dla każdej liczby porządkowej dostaniemy jakieś \(\displaystyle{ 2^{n}}\). Pomimo, że gęstość liczb tej postaci w całym tym zbiorze jest zerowa.