Wykazanie własności par liczb naturalnych, NWD

[porfirion]

Mam problem z takim zadaniem:
Wykaż, że istnieje nieskończenie wiele par różnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ (m,n)}\) takich, że:

\(\displaystyle{ NWD(m!+1,n!+1)>1}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc/wskazówkę.

[arek1357]

Mi się wydaje że trzeba korzystać ze wzoru Wilsona:

weźmy ciąg kolejnych liczb pierwszych:

\(\displaystyle{ (p_{1}-1)!+1=l_{1}p_{1}}\)

\(\displaystyle{ (p_{2}-1)!+1=l_{2}p_{2}}\)
........................................................

\(\displaystyle{ (p_{n}-1)!+1=l_{n}p_{n}}\)

..........................................................

zauważ że liczby pierwsze są wszystkie czyli w rozkładzie na czynniki liczb \(\displaystyle{ l_{i}}\),muszą się liczby

pierwsze \(\displaystyle{ pi}\) powtarzać nie ma innego wyjśćia.

więc te NWD będą większe od zera.
Trzeba by to jakoś doprecyzować ale ten kierunek wydaje mi się chyba dobry!

[Zordon]

Wystarczy pokazać, że te \(\displaystyle{ l_n}\) nie są (przynajmniej od pewnego miejsca) potęgami liczby \(\displaystyle{ p_n}\). To nie jest trudne

[porfirion]

Dzięki za pomoc. O twierdzeniu Wilsona kiedyś już słyszałem, ale to zadanie dostałem od kolegi z I klasy liceum i myślałem, że można je zrobić powołując się na jakieś bardziej elementarne fakty/twierdzenia.-- 28 sty 2012, o 13:00 --

Wystarczy pokazać, że te \(\displaystyle{ l_n}\) nie są (przynajmniej od pewnego miejsca) potęgami liczby \(\displaystyle{ p_n}\). To nie jest trudne

Cóż... drążę we wskazanym kierunku od dłuższych paru chwil i niestety nadal nie jestem sobie w stanie z problemem poradzić.
Jak najbardziej rozumiem, że byłby to fakt wystarczający.
Można go nawet zamienić na słabszy: "Istnieje nieskończenie wiele \(\displaystyle{ l_n}\) nie będących potęgami liczby \(\displaystyle{ p_n}\).
Jest to dla mnie zadanie, wbrew słowom zachęty, za trudne. Teza wydaje się intuicyjna i niemożność jej dowiedzenia strasznie deprymuje... Moglibyście mi w tym pomóc?

[arek1357]

Musiałoby zachodzić coś takiego:

\(\displaystyle{ (p-1)!=-1(\mod p^{2})}\)

równanie to spełniają tak zwane liczby pierwsze Wilsona.
znane są do tej pory tylko chyba trzy :5, 13, 563.
i nie ma ich chyba nieskońzenie wiele nawet!

[Zordon]

Przesadziłem trochę ze stwierdzeniem, że to jest łatwe. Ale tak naprawdę to nie potrzebujemy takiego czegoś dowodzić. Wskazówka: rozważajmy liczby które nie są postaci \(\displaystyle{ p-1}\) dla \(\displaystyle{ p\in \mathbb{P}}\).

[porfirion]

To zadanie faktycznie można rozwiązać w bardzo prosty sposób. Istnieje przecież nieskończenie wiele liczb złożonych \(\displaystyle{ k}\).
Na mocy twierdzenia Wilsona: \(\displaystyle{ k\nmid(k-1)!+1}\).
Jednocześnie dla każdej liczby złożonej \(\displaystyle{ k}\) istnieje taka liczba pierwsza p, że: \(\displaystyle{ p|(k-1)!+1}\).
Wynika stąd bezpośrednio, że \(\displaystyle{ NWD((k-1)!+1,(p-1)!+1) \ge p}\).
Czasem trudno wpaść na takie proste rzeczy...-- 28 sty 2012, o 21:35 --Dzięki Zordon!