Gęstość zbiorów - sprzeczność

[matemix]

Weźmy zbiór wszystkich liczb naturalnych z zerem A. Ustawmy liczby od najmniejszej do największej:

\(\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, ..., n}\)

A teraz weźmy drugi zbiór liczb naturalnych B który może być skończony, albo nie:

\(\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, ..., m}\)

i przyporządkujmy liczbom ze zbioru pierwszego liczby ze zbioru drugiego, w taki sposób:

\(\displaystyle{ n : 0,\ (n-1) : 1,\ (n-2) : 2,\ (n-3) : 3,\ ...,\ n-k,\ n-k-1,\ n-k-2,\ ...,\ 0}\)

(dwukropek oznacza tu przyporządkowanie)

tworząc nowy zbiór par liczb, a gdy liczby ze zbioru B się wyczerpią niech zbiór tworzą kolejne liczby ze zbioru A już bez pary \(\displaystyle{ (n-k,\, n-k-1,\, n-k-2,\, ... ,\, 0)}\). Nazwijmy ten zbiór \(\displaystyle{ C}\).

Zawsze gdy zbiór liczb \(\displaystyle{ B}\) będzie skończony to gęstość zbioru par liczb w zbiorze \(\displaystyle{ C}\) będzie wynosiła \(\displaystyle{ 0}\). Ponad to zbiór liczb \(\displaystyle{ B}\) może mieć dowolną skończoną ilość elementów, a gęstość par liczb w \(\displaystyle{ C}\) i tak będzie wynosiła \(\displaystyle{ 0}\).


Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B}\) z maksymalną ilością elementów, dla których gęstość par w \(\displaystyle{ C}\) jest zerowa. Jest to zbiór dla którego dodanie choć jednego dodatkowego elementu spowoduje, że gęstość par w \(\displaystyle{ C}\) nie będzie już zerowa. Pytanie - jaka jest maksymalna ilość elementów w zbiorze \(\displaystyle{ B}\) dla których gęstość par w \(\displaystyle{ C}\) będzie zerowa?

Pojawia mi się tu pewna sprzeczność. Ponieważ tylko gdy zbiór liczb \(\displaystyle{ B}\) będzie skończony, to gęstość zbioru par liczb w zbiorze \(\displaystyle{ C}\) będzie wynosiła \(\displaystyle{ 0}\) (gdy \(\displaystyle{ B}\) będzie nieskończony, to będzie tym samym zbiorem liczb naturalnych co \(\displaystyle{ A}\) i nie będzie liczb bez par). Jednak w takim razie oznaczałoby to, że nie da się podać maksymalnego zbioru \(\displaystyle{ B}\) dla którego gęstość par w \(\displaystyle{ C}\) będzie zerowa, ponieważ musi to być skończony zbiór, a jakiej odpowiedzi nie udzielimy, to zawsze można dodać do takiego zbioru 1 element i nadal będzie to zbiór skończony. A zatem nie da się podać odpowiedzi w postaci zbioru skończonego. Czy zatem ma to być zbiór nieskończony? Też nie.

Czy zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) z maksymalną ilością elementów, dla których gęstość par w \(\displaystyle{ C}\) jest zerowa nie istnieje? Czy może istnieją zbiory, ani skończone, ani nieskończone?

[Kartezjusz]

A zbiór liczb od 0 do n?
B-zbiór liczb od 0 do m.
Jeżeli \(\displaystyle{ n \le m}\) to problemu nie ma,a jeśli nie? to co robisz,bo z tego co piszesz po wyczerpaniu par nie ma...

[RSM]

Weźmy zbiór wszystkich liczb naturalnych z zerem

\(\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, ..., n}\)

Coś mi tu nie pasuje.

[matemix]

A zbiór liczb od 0 do n?
B-zbiór liczb od 0 do m.
Jeżeli \(\displaystyle{ n \le m}\) to problemu nie ma,a jeśli nie?

Właściwie, jeżeli zbiór A jest nieskończony, to \(\displaystyle{ n}\) nie powinno być liczbą, tylko nieskończonością i być zawsze większe lub równe \(\displaystyle{ m}\).

to co robisz,bo z tego co piszesz po wyczerpaniu par nie ma...

Chcę przyporządkować liczbom ze zbioru A liczby ze zbioru B, ale w odwrotnej kolejności, zaczynając niejako od największej liczby w zbiorze A, choć z drugiej strony formalnie największa liczba w zbiorze liczb naturalnych nie istnieje... Ale chyba można sobie wymyślić tego typu przyporządkowanie.

[Zordon]

Chcę przyporządkować liczbom ze zbioru A liczby ze zbioru B, ale w odwrotnej kolejności, zaczynając niejako od największej liczby w zbiorze A, choć z drugiej strony formalnie największa liczba w zbiorze liczb naturalnych nie istnieje... Ale chyba można sobie wymyślić tego typu przyporządkowanie.

nie można

[matemix]

Chcę przyporządkować liczbom ze zbioru A liczby ze zbioru B, ale w odwrotnej kolejności, zaczynając niejako od największej liczby w zbiorze A, choć z drugiej strony formalnie największa liczba w zbiorze liczb naturalnych nie istnieje... Ale chyba można sobie wymyślić tego typu przyporządkowanie.

nie można

No to chyba źle przedstawiłem problem. A przy okazji dlaczego "nie można"?


Tak, czy owak, kwestię tego dziwnego przyporządkowania zostawię na inny wątek. A na razie pogrupujmy te liczby inaczej.

Weźmy zbiór wszystkich liczb naturalnych z zerem \(\displaystyle{ A}\). Ustawmy liczby od najmniejszej do największej:

\(\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, ...}\)

A teraz weźmy drugi zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ B}\) który może być skończony, albo nie:

\(\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, ..., m}\)

i przyporządkujmy liczbom ze zbioru pierwszego liczby ze zbioru drugiego, w taki sposób:

\(\displaystyle{ 0 : 0,\ 1 : 1,\ 2 : 2,\ 3 : 3,\ ...,\ m : n,\ n+1,\ n+2,\ ...}\)

(dwukropek oznacza tu przyporządkowanie)

tworząc nowy zbiór par liczb, a gdy liczby ze zbioru \(\displaystyle{ B}\) się wyczerpią niech zbiór tworzą kolejne liczby ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) już bez pary \(\displaystyle{ \ n+1,\ n+2,\ ...}\). Nazwijmy ten zbiór \(\displaystyle{ C}\).

Zawsze gdy zbiór liczb \(\displaystyle{ B}\) będzie skończony to gęstość zbioru par liczb w zbiorze \(\displaystyle{ C}\) będzie wynosiła \(\displaystyle{ 0}\). Ponad to zbiór liczb \(\displaystyle{ B}\) może mieć dowolną skończoną ilość elementów, a gęstość par liczb w \(\displaystyle{ C}\) i tak będzie wynosiła \(\displaystyle{ 0}\).


Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B}\) z maksymalną ilością elementów, dla których gęstość par w \(\displaystyle{ C}\) jest zerowa. Jest to zbiór dla którego dodanie choć jednego dodatkowego elementu spowoduje, że gęstość par w \(\displaystyle{ C}\) nie będzie już zerowa. Pytanie - jaka jest maksymalna ilość elementów w zbiorze \(\displaystyle{ B}\) dla których gęstość par w \(\displaystyle{ C}\) będzie zerowa?

Pojawia mi się tu ta sama sprzeczność. Pytanie czy to tylko pozorna sprzeczność?

[Zordon]

nie rozumiem czym jest n i k w Twojej definicji przyporządkowania, czy tego nie można po prostu napisać wzorem? Bo tak to nie wiadomo o co się rozchodzi.

[matemix]

nie rozumiem czym jest n i k w Twojej definicji przyporządkowania, czy tego nie można po prostu napisać wzorem? Bo tak to nie wiadomo o co się rozchodzi.

Usunąłem to \(\displaystyle{ k}\). Teraz mamy tylko \(\displaystyle{ n}\). I \(\displaystyle{ n}\) to jest liczba równa ilości elementów w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), czyli \(\displaystyle{ m=n}\).

[Zordon]

Twój zapis jest chaotyczny i nijak nie mogę odpowiedzieć na zadane pytanie "gdzie leży sprzeczność" jeśli nie rozumiem co tam jest zdefiniowane. W szczególności powinieneś sprecyzować które pojęcie gęstości rozważasz i co to znaczy "gęstość par liczb w zbiorze...."

[matemix]

Twój zapis jest chaotyczny i nijak nie mogę odpowiedzieć na zadane pytanie "gdzie leży sprzeczność" jeśli nie rozumiem co tam jest zdefiniowane. W szczególności powinieneś sprecyzować które pojęcie gęstości rozważasz i co to znaczy "gęstość par liczb w zbiorze...."

Gęstość danego zbioru \(\displaystyle{ A}\) w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), to ilość elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\) do ilości elementów w zbiorze \(\displaystyle{ B}\).

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem liczb naturalnych. Natomiast \(\displaystyle{ B}\) pewnym skończonym lub nieskończonym zbiorem zawierającym kolejne liczby naturalne zaczynając od liczby 1. Nie określamy ile ma ich być.

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B}\) o największej ilości elementów taki, że gęstość \(\displaystyle{ B}\) w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

1. Czy \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem skończonym czy nieskończonym?

2. Ile elementów ma \(\displaystyle{ B}\)?

[Zordon]

Nie istnieje taki największy zbiór B.
To tak samo jakbyś spytał jaki jest największy zbiór skończony.

[matemix]

A jeżeli weźmiemy zbiór \(\displaystyle{ M}\) który zawiera dwa zbiory - zbiór \(\displaystyle{ B}\) który może zawierać dowolnie wiele kolejnych liczb naturalnych (ale nie nieskończenie wiele) oraz jakiś zbiór \(\displaystyle{ C}\) który zawiera jakieś liczby naturalne (może być ich nieskończenie wiele) oraz gęstość zbioru \(\displaystyle{ M}\) w zbiorze liczb naturalnych jest zerowa, to czy wtedy może istnieć jakiś zbiór \(\displaystyle{ C}\) którego elementów nie zawierałby zbiór \(\displaystyle{ B}\)?

Na przykład, jeżeli \(\displaystyle{ C}\) zawiera nieskończenie wiele liczb postaci: \(\displaystyle{ 1,2,4,...,2^{n}}\) to czy oznacza to, że istnieją elementy tego zbioru które mogą nie należeć do \(\displaystyle{ B}\) skoro \(\displaystyle{ B}\) może mieć dowolnie wiele elementów?