Kilka zadań z teorii liczb

[schleswig]

Witajcie

Chciałbym prosić o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań.

1. Niech \(\displaystyle{ p \in \mathbb{P}}\) oraz \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{Z}}\) będą nieresztami kwadratowymi \(\displaystyle{ \mod p}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ ab}\) jest resztą kwadratową \(\displaystyle{ \mod p}\).

2. Niech liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, q}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ \frac{x^2 + y^2}{xy - 1} = q}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ q = 5}\).

Z góry dzięki za pomoc.

[Vax]

1) Z symbolu Legendre:

\(\displaystyle{ \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right) = (-1)\cdot (-1) = 1}\)

2) 137736.htm?hilit=schodzenia

[schleswig]

Ok, dzięki wielkie.

[Sylwek]

1) Z symbolu Legendre:

\(\displaystyle{ \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right) = (-1)\cdot (-1) = 1}\)

To trochę oszustwo, bo właśnie ten fakt jest wykorzystywany w dowodzie iloczynowej własności symbolu Legendre'a . Bez użycia faktu, że reszt kwadratowych jest tyle co niereszt i jest ich dokładnie \(\displaystyle{ \frac{p-1}{2}}\) to raczej nie przejdzie.

A jeśli chodzi o dalszą część, to można albo wykorzystać istnienie generatora \(\displaystyle{ g}\) w \(\displaystyle{ Z_p^*}\) (wówczas oczywiście parzyste potęgi \(\displaystyle{ g}\) będą resztami, a nieparzyste nieresztami), albo najpierw pokazać, że iloczyn pewnej niereszty \(\displaystyle{ a}\) z dowolną z reszt jest nieresztą, a następnie pokazać, że te iloczyny zajmują wszystkie niereszty, więc dla ilocznyów \(\displaystyle{ a}\) z nieresztami zostają już tylko miejsca z resztami. To drugie podejście nieco dłuższe, ale bardziej elementarne.

Edit: Oczywiście powyższe było niepotrzebne, jeśli przyjmiemy za znany fakt: \(\displaystyle{ \left(\frac{D}{p}\right) \equiv D^{\frac{p-1}{2}}}\), to wówczas dowód tego, że \(\displaystyle{ \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)}\) jest oczywisty