Dowody nierówności

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
ewqa95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 sty 2012, o 15:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Dowody nierówności

Post autor: ewqa95 »

\(\displaystyle{ a, b, c > 0}\)

Udowodnić nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{a+c}> \frac{3}{a+b+c}}\)


\(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{a+b+c}{3}}\)


\(\displaystyle{ (a^3+b^3+c^3)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) > (a+b+c)^2}\)


Nie mam pomysłu jak to udowodnić.
W trzecim udało mi się dojść do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{bc(b^3+c^3-2abc)+ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+b^3-2abc)}{abc} > 0}\),
ale chyba niewiele z tego wynika.


Z góry dziękuję za pomoc
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Dowody nierówności

Post autor: Vax »

1) Z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}}{3} \ge \frac{3}{2(a+b+c)} \\ \\ \iff \\ \\ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c} \ge \frac{9}{2(a+b+c)} > \frac{3}{a+b+c}}\)

2) \(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{a+b+c}{3} \\ \\ \iff \\ \\ 2a^3+2b^3+2c^3 \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}\)

Ale z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3 \ge 3abc}\) więc:

\(\displaystyle{ 2a^3+2b^3+2c^3 \ge a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \\ \\ \iff \\ \\ a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge 0}\)
a to jest nierówność Schura.

Ewentualnie można zauważyć, że \(\displaystyle{ a^3+b^3 \ge ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \ge 0}\) i sumując 3 takie nierówności: \(\displaystyle{ a^3+b^3 \ge ab(a+b) , a^3+c^3 \ge ac(a+c) , b^3+c^3 \ge bc(b+c)}\) dostajemy tezę.

3) Teza wynika bezpośrednio z nierówności Cauchy'ego Schwarza (Ma być nieostra, dla równych niewiadomych mamy równość)
ewqa95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 sty 2012, o 15:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Dowody nierówności

Post autor: ewqa95 »

Dzięki za ekspresową odpowiedź.

Rozumiem, że nie da się tego udowodnić bez tych nierówności, które podałeś?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Dowody nierówności

Post autor: Vax »

Można, w 1 nierówności zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} > \frac{1}{a+b+c} \Leftrightarrow c > 0}\), więc po dodaniu 3 takich nierówności: \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} > \frac{1}{a+b+c} , \frac{1}{b+c} > \frac{1}{a+b+c} , \frac{1}{a+c} > \frac{1}{a+b+c}}\) dostajesz tezę.

A w 3 nierówności zauważ, że licznik (tego ułamka który dostałaś) można zawinąć:

\(\displaystyle{ bc(b^3+c^3-2abc)+ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+b^3-2abc) = \\ \\ = (a+b)(a+c)(b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}\)

Więc wystarczy pokazać \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)\ge 0}\)
ewqa95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 sty 2012, o 15:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Dowody nierówności

Post autor: ewqa95 »

Ok, teraz łatwiej, tylko powiedz, jak zwinąłeś ten licznik?
Tam jest \(\displaystyle{ ac(a^3+c^3-2abc)}\) a nie \(\displaystyle{ ac(a^3+b^3-2abc)}\)
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Dowody nierówności

Post autor: Vax »

Tak, po prostu skopiowałem licznik z Twojego pierwszego postu
ewqa95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 sty 2012, o 15:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Dowody nierówności

Post autor: ewqa95 »

Ok, później jest inaczej, ale jak zwinąć ten licznik?
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Dowody nierówności

Post autor: Vax »

Mamy w liczniku:

\(\displaystyle{ ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+c^3-2abc)+bc(b^3+c^3-2abc)}\)

Chcemy w pewien sposób zawinąć to wyrażenie, często jednym z czynników jest \(\displaystyle{ a+b}\) lub \(\displaystyle{ a-b}\), jeżeli jednym z czynników byłby \(\displaystyle{ a+b}\) to dla \(\displaystyle{ a+b=0 \Leftrightarrow a=-b}\) dane wyrażenie by się wyzerowało, podstawiamy więc \(\displaystyle{ a=-b}\) do naszego wyrażenia i widzimy, że wszystko się redukuje, czyli istotnie jednym z czynników jest \(\displaystyle{ a+b}\), wszystko jest w nim symetryczne, więc wiadomo, że wyciągniemy też \(\displaystyle{ b+c}\) oraz \(\displaystyle{ a+c}\), dalej dostajemy to co w poprzednim poście
ewqa95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 sty 2012, o 15:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Dowody nierówności

Post autor: ewqa95 »

Przepraszam, że tak męczę, ale nie wiem jak wyłączyć to \(\displaystyle{ (a+b)(a+c)(b+c)}\). Za dużo wyrazów do ogarnięcia.
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Dowody nierówności

Post autor: Vax »

Jak już wiemy, że jednym z czynników jest \(\displaystyle{ a+b}\) to można ustawić dane wyrażenie od najwyższej potęgi \(\displaystyle{ a}\) i następnie po kolei z każdego jednomianu wyłączać odpowiedni czynnik przed nawias równy \(\displaystyle{ a+b}\), a następnie dodawać odpowiedni jednomian, aby równość się zgadzała, tzn mając na przykład \(\displaystyle{ a^4b}\) rozpisujemy \(\displaystyle{ a^4b = a^3b(a+b)-a^3b^2}\), trochę z tym roboty jest ale ładnie wychodzi, w naszym przypadku (po drodze oczywiście redukujemy wyrazy podobne):


\(\displaystyle{ a^4b+a^4c-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = a^3b(a+b)-a^3b^2+a^4c-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)

\(\displaystyle{ = a^3b(a+b)+a^3c(a+b)-a^3bc-a^3b^2-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c)-a^2bc(a+b)+a^2b^2c-a^3b^2-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)

\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc)-a^2b^2(a+b)+a^2b^3-a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2)+ab^3(a+b)-ab^4-a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)

\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3)-ab^2c(a+b)+ab^3c-2a^2bc^2+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c)-2abc^2(a+b)+2ab^2c^2+ab^3c+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)

\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2)+b^3c(a+b)-b^4c+ac^4+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2+b^3c)+c^4(a+b)-bc^4+bc^4 =}\)

\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2+b^3c+c^4)}\)

Teraz analogicznie z drugiego nawiasu wystawiasz np \(\displaystyle{ b+c}\)

Możesz też poczytać o schemacie Hornera, korzystając z niego wychodzi sporo szybciej.
ODPOWIEDZ