Dowody nierówności
Dowody nierówności
\(\displaystyle{ a, b, c > 0}\)
Udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{a+c}> \frac{3}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{a+b+c}{3}}\)
\(\displaystyle{ (a^3+b^3+c^3)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) > (a+b+c)^2}\)
Nie mam pomysłu jak to udowodnić.
W trzecim udało mi się dojść do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{bc(b^3+c^3-2abc)+ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+b^3-2abc)}{abc} > 0}\),
ale chyba niewiele z tego wynika.
Z góry dziękuję za pomoc
Udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a+b}+ \frac{1}{b+c}+ \frac{1}{a+c}> \frac{3}{a+b+c}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{a+b+c}{3}}\)
\(\displaystyle{ (a^3+b^3+c^3)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) > (a+b+c)^2}\)
Nie mam pomysłu jak to udowodnić.
W trzecim udało mi się dojść do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{bc(b^3+c^3-2abc)+ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+b^3-2abc)}{abc} > 0}\),
ale chyba niewiele z tego wynika.
Z góry dziękuję za pomoc
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dowody nierówności
1) Z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}}{3} \ge \frac{3}{2(a+b+c)} \\ \\ \iff \\ \\ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c} \ge \frac{9}{2(a+b+c)} > \frac{3}{a+b+c}}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{a+b+c}{3} \\ \\ \iff \\ \\ 2a^3+2b^3+2c^3 \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}\)
Ale z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3 \ge 3abc}\) więc:
\(\displaystyle{ 2a^3+2b^3+2c^3 \ge a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \\ \\ \iff \\ \\ a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge 0}\)
a to jest nierówność Schura.
Ewentualnie można zauważyć, że \(\displaystyle{ a^3+b^3 \ge ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \ge 0}\) i sumując 3 takie nierówności: \(\displaystyle{ a^3+b^3 \ge ab(a+b) , a^3+c^3 \ge ac(a+c) , b^3+c^3 \ge bc(b+c)}\) dostajemy tezę.
3) Teza wynika bezpośrednio z nierówności Cauchy'ego Schwarza (Ma być nieostra, dla równych niewiadomych mamy równość)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}}{3} \ge \frac{3}{2(a+b+c)} \\ \\ \iff \\ \\ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c} \ge \frac{9}{2(a+b+c)} > \frac{3}{a+b+c}}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2} \ge \frac{a+b+c}{3} \\ \\ \iff \\ \\ 2a^3+2b^3+2c^3 \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}\)
Ale z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3 \ge 3abc}\) więc:
\(\displaystyle{ 2a^3+2b^3+2c^3 \ge a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \\ \\ \iff \\ \\ a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) \ge 0}\)
a to jest nierówność Schura.
Ewentualnie można zauważyć, że \(\displaystyle{ a^3+b^3 \ge ab(a+b) \Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \ge 0}\) i sumując 3 takie nierówności: \(\displaystyle{ a^3+b^3 \ge ab(a+b) , a^3+c^3 \ge ac(a+c) , b^3+c^3 \ge bc(b+c)}\) dostajemy tezę.
3) Teza wynika bezpośrednio z nierówności Cauchy'ego Schwarza (Ma być nieostra, dla równych niewiadomych mamy równość)
Dowody nierówności
Dzięki za ekspresową odpowiedź.
Rozumiem, że nie da się tego udowodnić bez tych nierówności, które podałeś?
Rozumiem, że nie da się tego udowodnić bez tych nierówności, które podałeś?
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dowody nierówności
Można, w 1 nierówności zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} > \frac{1}{a+b+c} \Leftrightarrow c > 0}\), więc po dodaniu 3 takich nierówności: \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} > \frac{1}{a+b+c} , \frac{1}{b+c} > \frac{1}{a+b+c} , \frac{1}{a+c} > \frac{1}{a+b+c}}\) dostajesz tezę.
A w 3 nierówności zauważ, że licznik (tego ułamka który dostałaś) można zawinąć:
\(\displaystyle{ bc(b^3+c^3-2abc)+ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+b^3-2abc) = \\ \\ = (a+b)(a+c)(b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}\)
Więc wystarczy pokazać \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)\ge 0}\)
A w 3 nierówności zauważ, że licznik (tego ułamka który dostałaś) można zawinąć:
\(\displaystyle{ bc(b^3+c^3-2abc)+ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+b^3-2abc) = \\ \\ = (a+b)(a+c)(b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)}\)
Więc wystarczy pokazać \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)\ge 0}\)
Dowody nierówności
Ok, teraz łatwiej, tylko powiedz, jak zwinąłeś ten licznik?
Tam jest \(\displaystyle{ ac(a^3+c^3-2abc)}\) a nie \(\displaystyle{ ac(a^3+b^3-2abc)}\)
Tam jest \(\displaystyle{ ac(a^3+c^3-2abc)}\) a nie \(\displaystyle{ ac(a^3+b^3-2abc)}\)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dowody nierówności
Mamy w liczniku:
\(\displaystyle{ ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+c^3-2abc)+bc(b^3+c^3-2abc)}\)
Chcemy w pewien sposób zawinąć to wyrażenie, często jednym z czynników jest \(\displaystyle{ a+b}\) lub \(\displaystyle{ a-b}\), jeżeli jednym z czynników byłby \(\displaystyle{ a+b}\) to dla \(\displaystyle{ a+b=0 \Leftrightarrow a=-b}\) dane wyrażenie by się wyzerowało, podstawiamy więc \(\displaystyle{ a=-b}\) do naszego wyrażenia i widzimy, że wszystko się redukuje, czyli istotnie jednym z czynników jest \(\displaystyle{ a+b}\), wszystko jest w nim symetryczne, więc wiadomo, że wyciągniemy też \(\displaystyle{ b+c}\) oraz \(\displaystyle{ a+c}\), dalej dostajemy to co w poprzednim poście
\(\displaystyle{ ab(a^3+b^3-2abc)+ac(a^3+c^3-2abc)+bc(b^3+c^3-2abc)}\)
Chcemy w pewien sposób zawinąć to wyrażenie, często jednym z czynników jest \(\displaystyle{ a+b}\) lub \(\displaystyle{ a-b}\), jeżeli jednym z czynników byłby \(\displaystyle{ a+b}\) to dla \(\displaystyle{ a+b=0 \Leftrightarrow a=-b}\) dane wyrażenie by się wyzerowało, podstawiamy więc \(\displaystyle{ a=-b}\) do naszego wyrażenia i widzimy, że wszystko się redukuje, czyli istotnie jednym z czynników jest \(\displaystyle{ a+b}\), wszystko jest w nim symetryczne, więc wiadomo, że wyciągniemy też \(\displaystyle{ b+c}\) oraz \(\displaystyle{ a+c}\), dalej dostajemy to co w poprzednim poście
Dowody nierówności
Przepraszam, że tak męczę, ale nie wiem jak wyłączyć to \(\displaystyle{ (a+b)(a+c)(b+c)}\). Za dużo wyrazów do ogarnięcia.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dowody nierówności
Jak już wiemy, że jednym z czynników jest \(\displaystyle{ a+b}\) to można ustawić dane wyrażenie od najwyższej potęgi \(\displaystyle{ a}\) i następnie po kolei z każdego jednomianu wyłączać odpowiedni czynnik przed nawias równy \(\displaystyle{ a+b}\), a następnie dodawać odpowiedni jednomian, aby równość się zgadzała, tzn mając na przykład \(\displaystyle{ a^4b}\) rozpisujemy \(\displaystyle{ a^4b = a^3b(a+b)-a^3b^2}\), trochę z tym roboty jest ale ładnie wychodzi, w naszym przypadku (po drodze oczywiście redukujemy wyrazy podobne):
\(\displaystyle{ a^4b+a^4c-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = a^3b(a+b)-a^3b^2+a^4c-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = a^3b(a+b)+a^3c(a+b)-a^3bc-a^3b^2-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c)-a^2bc(a+b)+a^2b^2c-a^3b^2-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc)-a^2b^2(a+b)+a^2b^3-a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2)+ab^3(a+b)-ab^4-a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3)-ab^2c(a+b)+ab^3c-2a^2bc^2+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c)-2abc^2(a+b)+2ab^2c^2+ab^3c+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2)+b^3c(a+b)-b^4c+ac^4+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2+b^3c)+c^4(a+b)-bc^4+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2+b^3c+c^4)}\)
Teraz analogicznie z drugiego nawiasu wystawiasz np \(\displaystyle{ b+c}\)
Możesz też poczytać o schemacie Hornera, korzystając z niego wychodzi sporo szybciej.
\(\displaystyle{ a^4b+a^4c-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = a^3b(a+b)-a^3b^2+a^4c-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = a^3b(a+b)+a^3c(a+b)-a^3bc-a^3b^2-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c)-a^2bc(a+b)+a^2b^2c-a^3b^2-2a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc)-a^2b^2(a+b)+a^2b^3-a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2)+ab^3(a+b)-ab^4-a^2b^2c-2a^2bc^2+ab^4+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3)-ab^2c(a+b)+ab^3c-2a^2bc^2+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c)-2abc^2(a+b)+2ab^2c^2+ab^3c+ac^4-2ab^2c^2+b^4c+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2)+b^3c(a+b)-b^4c+ac^4+b^4c+bc^4 = \\ \\ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2+b^3c)+c^4(a+b)-bc^4+bc^4 =}\)
\(\displaystyle{ = (a+b)(a^3b+a^3c-a^2bc-a^2b^2+ab^3-ab^2c-2abc^2+b^3c+c^4)}\)
Teraz analogicznie z drugiego nawiasu wystawiasz np \(\displaystyle{ b+c}\)
Możesz też poczytać o schemacie Hornera, korzystając z niego wychodzi sporo szybciej.