Ile rozwiązań ma kongruencja?

[Maldoran]

\(\displaystyle{ x^{60} przystaje do 1 (mod 61)}\)

Wiem, że coś z małym twierdzeniem Fermata i coś z twierdzeniem Lagrange'a. Ale zupełnie nie wiem co...
No i wybaczcie to "przystaje do" ale nie widzę odpowiedniego znaku.

[szw1710]

Kod: Zaznacz cały

x^{60}equiv 1pmod{61}

\(\displaystyle{ x^{60}\equiv 1\pmod{61}}\)

[Maldoran]

\(\displaystyle{ x^{60}\equiv 1\pmod{61}}\)

To powie mi ktoś dlaczego jest dokładnie 60 rozwiązań? Mam coś w stylu, że 60=liczpa pierwsza-1 ,więc z Małego Twierdzenie Fermata przystaje to do jedynki. Rozwiązania od 1 do 60, nie jest nim 61. Chciałbym jednak mieć to napisane (jeśli w ogóle o to chodzi) w taki sposób, żeby nie można się było to tego przyczepić w żaden sposób. Na tip top. Pomoże ktoś?

[tkrass]

No całkiem dobrze to napisałeś.

[Maldoran]

Ok, to wykorzystam ten temat do jeszcze jednego zadania.

\(\displaystyle{ 16x^{5}-64x^{4}+32x^{3}+17x^{2}-23x+40 \equiv 0\pmod{8}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}-x \equiv 0\pmod{8}}\)
\(\displaystyle{ x(x-1) \equiv 0\pmod{8}}\)

i co dalej?

[Vax]

Nie do końca, nasza kongruencja jest równoważna:

\(\displaystyle{ x(x+1) \equiv 0 \pmod{8}}\)

Czyli może być jedynie:

\(\displaystyle{ x \equiv 0\pmod{8} \vee x\equiv 7\pmod{8} \vee \begin{cases} x \equiv 2\pmod{8}\\ x+1 \equiv 4\pmod{8}\end{cases} \vee \begin{cases} x \equiv 4\pmod{8}\\ x+1 \equiv 2\pmod{8} \end{cases}}\)

Jednak 2 ostatnie przypadki oczywiście nie mogą zajść, skąd dostajemy \(\displaystyle{ x\equiv 0\pmod{8} \vee x\equiv 7\pmod{8}}\)

[Maldoran]

Czyli potem nie ma żadnej głębszej filozofii tylko zwykłe podstawianie? Dzięki.