Czy liczba może być kwadratem?

[Jan Kraszewski]

1. Czy liczba \(\displaystyle{ \frac{4^m+1}{4^n+1}}\) może być kwadratem liczby naturalnej dla pewnych \(\displaystyle{ m,n\in\mathbb N,\ n\neq m\ ?}\)

2. Czy liczba \(\displaystyle{ \frac{3^m+1}{3^n+1}}\) może być kwadratem liczby naturalnej dla pewnych \(\displaystyle{ m,n\in\mathbb N,\ n\neq m\ ?}\)

3. Czy liczba \(\displaystyle{ \frac{2^m+1}{2^n+1}}\) może być kwadratem liczby naturalnej dla pewnych \(\displaystyle{ m,n\in\mathbb N,\ n\neq m\ ?}\)

4. Czy liczba \(\displaystyle{ \frac{2m(2m-1)}{2n(2n-1)}}\) może być kwadratem liczby naturalnej dla pewnych \(\displaystyle{ m,n\in\mathbb N^+,\ n\neq m\ ?}\)

5. Rozważmy ciąg zadany rekurencyjnym warunkiem
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1=6 \\ a_{n+1}=a_n\cdot\left( a_n-1\right) \end{cases}}\)

Czy istnieją w tym ciągu dwa różne wyrazy, których iloraz jest kwadratem liczby naturalnej?

JK

[Pancernik]

3.
Tak. Np. \(\displaystyle{ m=10,n=2}\).-- 21 sty 2012, o 15:54 --1.
Tak. Np. \(\displaystyle{ m=9,n=3}\).

[cyberciq]

3.
Tak. Np. \(\displaystyle{ m=10,n=2}\).

-- 21 sty 2012, o 15:54 --

1.
Tak. Np. \(\displaystyle{ m=9,n=3}\).

Dla 3 przecież wychodzi 205 a to nie jest kwadrat

[Pancernik]

Aaaaaaa. Przepraszam. Źle napisałem, bo źle przeczytałem treść zadania.

[arek1357]

Otóż w piątym nie może być.
bo z obserwacji łatwo zauważyć, że kolejne an są iloczynem parami różnych liczb pierwszych można to indukcyjnie: \(\displaystyle{ a_1=2 \cdot 3}\)

\(\displaystyle{ Z: a_{n}=p_{n}}\)

\(\displaystyle{ T: a_{n+1}=p_{n+1}}\)

gdzie \(\displaystyle{ p_n}\) to iloczyn parami różnych liczb pierwszych czyli taka bezkwadratowa liczba.

Dw:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n}(a_{n}-1)=p_{n} \cdot (a_{n}-1)}\)

ale łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) ma zupełnie inne dzielniki niż \(\displaystyle{ a_n}\) czyli \(\displaystyle{ p_n}\)

łatwo też zauważyć, że:

\(\displaystyle{ a_{m}=k_{n}a_{n},n<m}\)
\(\displaystyle{ k_n}\)-+
- ciąg parami różnych liczb pierwszych.
Z ostatniego wynika teza zadania, że nie może być ten iloraz kwadratem liczby naturalnej.

-- 22 stycznia 2012, 12:43 --

\(\displaystyle{ 6=2 \cdot 3\\
30=2 \cdot 3 \cdot 5\\
870=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 29\\
756030=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 79\\
571580604870=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 29 \cdot 79 \cdot 39791}\)
.........................................................

[eMaerthin]

arek1357, nie podoba mi się Twoje rozumowanie.
Dlaczego stąd że jeden wyraz jest iloczynem różnych liczb pierwszych ma wynikać, że następny wyraz także jest iloczynem różnych liczb pierwszych???
Zgadzam się, że każdy kolejny wyraz dzieli się przez każdy z pozostałych i że domnaża się w nim czynniki względnie pierwsze z czynnikami występującymi w poprzednich wyrazach. Ale w jaki sposób mogłeś stąd wywieść, że te "domnażane czynniki" są iloczynem różnych liczb pierwszych?
Przecież rozkład \(\displaystyle{ a_n-1}\) może zawierać także kwadraty różnych liczb pierwszych?

Przykład z tego ciągu ale innym warunku początkowym. Dla warunku początkowego np.
\(\displaystyle{ a_1 = 10}\), kolejny wyraz dzieli się przez \(\displaystyle{ 9=3^2}\).

[arek1357]

Tak tu masz racje potem sam to zauważyłem

[mol_ksiazkowy]

ad 4 Zadanie ze 101 Nierozwiazanych...
np. \(\displaystyle{ \frac{50 \cdot 49}{ 2 \cdot 1}= 35^2}\)
tj. \(\displaystyle{ m=25 \ n=1}\)