Witajcie!
mam takie zadanie:
Pokazać, że liczba \(\displaystyle{ \frac{2^{4n+2}+1}{5}}\) jest złożona dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\).
Doszedłem do takien postaci:
\(\displaystyle{ \frac{2^{4n+2}+1}{5} = \frac{4 \cdot 4^{2n}+1}{5}}\)
Ale co dalej zrobić - nie wiem...
Pewnie jest to jakieś proste i trzeba wpaść na pomysł, którego aktualnie nie mam.
Proszę o pomoc.
Pokazać, że liczba jest złożona
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Pokazać, że liczba jest złożona
.
-- 10 stycznia 2012, 23:14 --
\(\displaystyle{ 2^{4n+2}+1=4^{2n+1}+1=5*(4^{2n}-4^{2n-1}+4^{2n-2}-...+1)}\)
zajmijmy się teraz ostatnim nawiasem
(1) \(\displaystyle{ (2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...+1)}\)
załóżmy teraz że ostatnia suma jest liczbą pierwszą, łatwo zauważyć, że 4|p-1
czyli liczbę p można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych
jedna z tych liczb musi być parzysta a druga nieparzysta
\(\displaystyle{ p=x^{2}+y^{2}}\)
x parzysta i y nieparzysta
\(\displaystyle{ x=2^{s}k, y=2^{r}l+1}\)
k i l nieparzyste
\(\displaystyle{ x^{2}=2^{2s}k^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}=2^{2r}l^{2}+2^{r+1}l+1}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ 2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...+1=2^{2s}k^{2}+2^{2r}l^{2}+2^{r+1}l+1}\)
lub po skróceniu 1
\(\displaystyle{ 2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...-4=2^{2s}k^{2}+2^{2r}l^{2}+2^{r+1}l}\)
jeśli teraz założymy iż r+1 jest najmniejszą potęgą dwójki okaże się, że l=-1, r=1
i będzie:
\(\displaystyle{ 2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...-4=2^{2s}k^{2}+4-4}\)
lub:
\(\displaystyle{ 2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...-4=2^{2s}k^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4W=2^{2s}k^{2}}\)
czyli s=1 bo W nieparzysta, po skróceniu mamy:
\(\displaystyle{ 2^{4n-2}-2^{4n-4}+2^{4n-6}-...-1=k^{2}}\)
k jest liczbą nieparzystą, k=2m+1
\(\displaystyle{ k^{2}=4m^{2}+4m+1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 2^{4n-2}-2^{4n-4}+2^{4n-6}-...-1= 4m^{2}+4m+1}\)
\(\displaystyle{ 2^{4n-2}-2^{4n-4}+2^{4n-6}-...+4= 4m^{2}+4m+2}\)
sprzeczność bo prawa strona nie dzieli się przez 4!
Czyli nie może być (1) liczbą pierwszą.
.Mi się wydaje że powinno to mniej więcej tak wyglądać może coś przeoczyłem
nie sprawdzałem wszystkich przypadków tak na szybko.
-- 10 stycznia 2012, 23:14 --
\(\displaystyle{ 2^{4n+2}+1=4^{2n+1}+1=5*(4^{2n}-4^{2n-1}+4^{2n-2}-...+1)}\)
zajmijmy się teraz ostatnim nawiasem
(1) \(\displaystyle{ (2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...+1)}\)
załóżmy teraz że ostatnia suma jest liczbą pierwszą, łatwo zauważyć, że 4|p-1
czyli liczbę p można przedstawić w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych
jedna z tych liczb musi być parzysta a druga nieparzysta
\(\displaystyle{ p=x^{2}+y^{2}}\)
x parzysta i y nieparzysta
\(\displaystyle{ x=2^{s}k, y=2^{r}l+1}\)
k i l nieparzyste
\(\displaystyle{ x^{2}=2^{2s}k^{2}}\)
\(\displaystyle{ y^{2}=2^{2r}l^{2}+2^{r+1}l+1}\)
i mamy:
\(\displaystyle{ 2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...+1=2^{2s}k^{2}+2^{2r}l^{2}+2^{r+1}l+1}\)
lub po skróceniu 1
\(\displaystyle{ 2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...-4=2^{2s}k^{2}+2^{2r}l^{2}+2^{r+1}l}\)
jeśli teraz założymy iż r+1 jest najmniejszą potęgą dwójki okaże się, że l=-1, r=1
i będzie:
\(\displaystyle{ 2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...-4=2^{2s}k^{2}+4-4}\)
lub:
\(\displaystyle{ 2^{4n}-2^{4n-2}+2^{4n-4}-...-4=2^{2s}k^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4W=2^{2s}k^{2}}\)
czyli s=1 bo W nieparzysta, po skróceniu mamy:
\(\displaystyle{ 2^{4n-2}-2^{4n-4}+2^{4n-6}-...-1=k^{2}}\)
k jest liczbą nieparzystą, k=2m+1
\(\displaystyle{ k^{2}=4m^{2}+4m+1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 2^{4n-2}-2^{4n-4}+2^{4n-6}-...-1= 4m^{2}+4m+1}\)
\(\displaystyle{ 2^{4n-2}-2^{4n-4}+2^{4n-6}-...+4= 4m^{2}+4m+2}\)
sprzeczność bo prawa strona nie dzieli się przez 4!
Czyli nie może być (1) liczbą pierwszą.
.Mi się wydaje że powinno to mniej więcej tak wyglądać może coś przeoczyłem
nie sprawdzałem wszystkich przypadków tak na szybko.