Dokładnie dwie liczby pierwsze w ciągu dowolnej długości

[silvaran]

Udowodnić, ze dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje ciąg kolejnych liczb naturalnych długości
\(\displaystyle{ n}\) , który zawiera dokładnie dwie liczby pierwsze.

Jakieś wskazówki?

[Sylwek]

Dla n=1 to nie działa . Zacznijmy od tego dla ustalonego \(\displaystyle{ n \ge 2}\) zdefiniujemy \(\displaystyle{ f(k)}\) (dla \(\displaystyle{ k \ge 2}\)) jako liczbę liczb pierwszych wśród \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb począwszy od argumentu funkcji, czyli: \(\displaystyle{ \lbrace k,k+1,\ldots,k+n-1 \rbrace}\).

Po pierwsze, można łatwo wskazać takie \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ f(k)=0}\) (pomyśl nad przykładem).
Po drugie, \(\displaystyle{ f(k+1)-f(k)}\) (\(\displaystyle{ k \ge 2}\)) jest jedną z liczb \(\displaystyle{ 1,0,-1}\) (pomyśl czemu).
Po trzecie, zawsze \(\displaystyle{ f(k) \ge 0}\) (\(\displaystyle{ k \ge 2}\))
Po czwarte, \(\displaystyle{ f(2) \ge 2}\).

I z tego już należy wywnioskować tezę, że jeśli nigdy by nie było \(\displaystyle{ f(t)=2}\), to "nie przeskoczymy" z liczby \(\displaystyle{ \ge 2}\) do \(\displaystyle{ 0}\) (pomyśl czemu).

[silvaran]

Wszystko oprócz "po pierwsze" ogarniam. Znaczy wiem dlaczego tak będzie, ale ciężko mi podać ogólny przykład dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\).

[Sylwek]

No to wykombinuj, żeby \(\displaystyle{ k}\) było podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ k+1}\) przez \(\displaystyle{ 3}\), ... , \(\displaystyle{ k+n-1}\) przez \(\displaystyle{ n+1}\).

Nawiasem mówiąc, to można istnienie takiej liczby dowieść niekonstruktywnie za pomocą chińskiego twierdzenia o resztach. Jednak ten przykład jest na tyle pouczający, że warto go zrobić wprost.

[silvaran]

Dobra, już mam. Wiedziałem, że to coś banalnego
Problem rozwiązany