Udowodnić, ze dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje ciąg kolejnych liczb naturalnych długości
\(\displaystyle{ n}\) , który zawiera dokładnie dwie liczby pierwsze.
Jakieś wskazówki?
Dokładnie dwie liczby pierwsze w ciągu dowolnej długości
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Dokładnie dwie liczby pierwsze w ciągu dowolnej długości
Dla n=1 to nie działa . Zacznijmy od tego dla ustalonego \(\displaystyle{ n \ge 2}\) zdefiniujemy \(\displaystyle{ f(k)}\) (dla \(\displaystyle{ k \ge 2}\)) jako liczbę liczb pierwszych wśród \(\displaystyle{ n}\) kolejnych liczb począwszy od argumentu funkcji, czyli: \(\displaystyle{ \lbrace k,k+1,\ldots,k+n-1 \rbrace}\).
Po pierwsze, można łatwo wskazać takie \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ f(k)=0}\) (pomyśl nad przykładem).
Po drugie, \(\displaystyle{ f(k+1)-f(k)}\) (\(\displaystyle{ k \ge 2}\)) jest jedną z liczb \(\displaystyle{ 1,0,-1}\) (pomyśl czemu).
Po trzecie, zawsze \(\displaystyle{ f(k) \ge 0}\) (\(\displaystyle{ k \ge 2}\))
Po czwarte, \(\displaystyle{ f(2) \ge 2}\).
I z tego już należy wywnioskować tezę, że jeśli nigdy by nie było \(\displaystyle{ f(t)=2}\), to "nie przeskoczymy" z liczby \(\displaystyle{ \ge 2}\) do \(\displaystyle{ 0}\) (pomyśl czemu).
Po pierwsze, można łatwo wskazać takie \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ f(k)=0}\) (pomyśl nad przykładem).
Po drugie, \(\displaystyle{ f(k+1)-f(k)}\) (\(\displaystyle{ k \ge 2}\)) jest jedną z liczb \(\displaystyle{ 1,0,-1}\) (pomyśl czemu).
Po trzecie, zawsze \(\displaystyle{ f(k) \ge 0}\) (\(\displaystyle{ k \ge 2}\))
Po czwarte, \(\displaystyle{ f(2) \ge 2}\).
I z tego już należy wywnioskować tezę, że jeśli nigdy by nie było \(\displaystyle{ f(t)=2}\), to "nie przeskoczymy" z liczby \(\displaystyle{ \ge 2}\) do \(\displaystyle{ 0}\) (pomyśl czemu).
-
- Użytkownik
- Posty: 1300
- Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 123 razy
Dokładnie dwie liczby pierwsze w ciągu dowolnej długości
Wszystko oprócz "po pierwsze" ogarniam. Znaczy wiem dlaczego tak będzie, ale ciężko mi podać ogólny przykład dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\).
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Dokładnie dwie liczby pierwsze w ciągu dowolnej długości
No to wykombinuj, żeby \(\displaystyle{ k}\) było podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), \(\displaystyle{ k+1}\) przez \(\displaystyle{ 3}\), ... , \(\displaystyle{ k+n-1}\) przez \(\displaystyle{ n+1}\).
Nawiasem mówiąc, to można istnienie takiej liczby dowieść niekonstruktywnie za pomocą chińskiego twierdzenia o resztach. Jednak ten przykład jest na tyle pouczający, że warto go zrobić wprost.
Nawiasem mówiąc, to można istnienie takiej liczby dowieść niekonstruktywnie za pomocą chińskiego twierdzenia o resztach. Jednak ten przykład jest na tyle pouczający, że warto go zrobić wprost.