Wykaż, że nie jest liczbą pierwszą

[silvaran]

Niech \(\displaystyle{ a,b, c, d}\) liczby całkowite dodatnie oraz \(\displaystyle{ ad = b^2 +bc+c^2}\) . Wykazac, ze \(\displaystyle{ a^2 +b^2 +c^2 +d^2}\) nie jest liczba pierwszą.

Udało mi się przekształcić sumę tych kwadratów do postaci \(\displaystyle{ (a+b+c+d)(a-b-c+d)}\). Teraz zostaje mi tylko pokazać, że drugi nawias nie jest jedynką. Jakieś pomysły?

[Vax]

\(\displaystyle{ a+d \ge 2\sqrt{ad} = 2\sqrt{b^2+bc+c^2} = 2\sqrt{(b+\frac{c}{2})^2+\frac{3c^2}{4}} > 2\sqrt{(b+\frac{c}{2})^2} = \\ \\ = 2(b+\frac{c}{2}) = 2b+c \ge b+c+1}\)