module dowód

[mat9876]

jak udowodnić poniższe wyrażenia

prosze mnie nei banowac nie wiem jak napisac mod w latex

jeżeli \(\displaystyle{ a \equiv b \mod c}\) to \(\displaystyle{ a-b \equiv 0 \mod c}\)
jeżeli \(\displaystyle{ a^2 \equiv 0 \mod c}\) i \(\displaystyle{ b \equiv 0 \mod c}\) to \(\displaystyle{ a \cdot b \equiv 0 \mod c}\)

co do 1 zrobiłem część w zasadzie rozpisałem to tylko

\(\displaystyle{ a \equiv b \mod c\\
c \cdot k + r = a\\
c \cdot l + r = b\\
a-b \equiv 0 \mod c\\
c \cdot v +r = a-b\\
c \cdot n + r = 0}\)

z ostatniego \(\displaystyle{ r = 0\mbox{ i } n= 0}\)

jak to dalej zrobic ma ktoś jakieś pomysły?


moze by tak?

skoro
\(\displaystyle{ c \cdot k + r = a\\}\)
\(\displaystyle{ c \cdot l + r = b\\}\)

to
\(\displaystyle{ c \cdot k + r -\left( c \cdot l + r \right) = c \cdot v+r}\)

\(\displaystyle{ r=0}\)
bo
\(\displaystyle{ 0= c \cdot n+r}\)

czyli

\(\displaystyle{ c \cdot \left( k-l\right) =cv}\)

mozna z tego wywnioskowac że
\(\displaystyle{ c=c}\)i \(\displaystyle{ v = \left( k-l\right)}\)

dobrze to zorbiłem??

[tortoise]

Dawno nie bawiłem się kongruencjami, ale być może pomogę. Ja bym to zrobił tak.

Chcemy pokazać taką implikację:
\(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{c} \Rightarrow a-b\equiv 0 \pmod{c}}\)

\(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{c} \Leftrightarrow c | a-b \Rightarrow c | (a-b) - 0 \Rightarrow a-b\equiv 0 \pmod{c}}\)

Pozdrawiam

[mat9876]

a co oznacza zapis \(\displaystyle{ c | a-b}\)??

[tortoise]

C dzieli a-b. Innymi słowy: różnica (a-b) jest podzielna przez c.

Z definicja: \(\displaystyle{ a\equiv b \pmod{c} \Leftrightarrow c | (a-b)}\)

Dla przykładu: \(\displaystyle{ 13\equiv 7 \pmod{2}}\). bo \(\displaystyle{ 2|13-7 \Rightarrow 2|6}\).

Ale \(\displaystyle{ \neg [13\equiv 7 \pmod{4}]}\), bo \(\displaystyle{ 4 \nmid 13-7 \Rightarrow 4 \nmid 6}\)

Pozdrawiam

[mat9876]

a jak udowndic drugie wyrażenie???