Pokazać, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych

[kate5]

Pokazać,że równanie \(\displaystyle{ x^2-2y^2=3}\) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Jak się za to zabrać?

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ x^2=3+2y^2}\)

1)przypadek\(\displaystyle{ y}\)parzyste:

wtedy \(\displaystyle{ 2y^2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 8}\), więc prawa strona daje resztę \(\displaystyle{ 3}\)z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8.}\) Ale lewa strona jako kwadrat liczby całkowitej nie może dać takiej reszty

2)przypadek \(\displaystyle{ y}\)nieparzyste , niech \(\displaystyle{ y=2m+1}\)

wtedy \(\displaystyle{ x^2=3+2(2m+1)^2=3+2(4m^2+4m+1)=5+8(m^2+m)}\)

teraz prawa strona daje resztę \(\displaystyle{ 5}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\), a lewa takiej reszty dać nie może

[Qń]

Prościej chyba rozpatrzyć reszty z dzielenia przez trzy - okaże się wówczas, że \(\displaystyle{ x,y}\) muszą być podzielne przez trzy, a wtedy lewa strona jest podzielna przez dziewięć, a prawa nie.

Q.