Indukcja matematyczna
-
marsgirll
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 14 sty 2011, o 19:45
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: somewhere...
Indukcja matematyczna
Witam. Mam problem z udowodnieniem, że \(\displaystyle{ n^5-n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 30}\). Wiem, że dowód jest przez indukcję, jednak nie mam pojęcia jak to rozpisać, Byłabym wdzięczna gdyby ktoś pomógł mi to rozwiązać.
Ostatnio zmieniony 10 gru 2011, o 17:01 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
szw1710
Indukcja matematyczna
\(\displaystyle{ n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1)}\)
Istota sprawy jest prosta: wśród trzech kolejnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\) mamy liczbę podzielną przez dwa i liczbę podzielną przez 3, skąd ten iloczyn jest podzielny przez 6. Jeśli wśród tych liczb jest też podzielna przez 5, to dowód zakończony. Powiedzmy więc, że wśród liczb \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\) nie ma liczby podzielnej przez 5. Możliwe jest to wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n=5k+2}\) lub \(\displaystyle{ n=5k+3}\). Wtedy \(\displaystyle{ n^2+1}\) jest podzielne przez 5, co łatwo sprawdzić podnosząc do kwadratu. Więc wśród liczb \(\displaystyle{ n-1,n,n+1,n^2+1}\) zawsze jest liczba parzysta, liczba podzielna przez 3 i liczba podzielna przez 5, skąd iloczyn jest podzielny przez 30.
Rozpisałem się, ale wyjaśniłem sprawę dość dokładnie. Nie lubię indukcji tam, gdzie jej nie trzeba.
Przypadkiem zatem post znalazł się w dobrym dziale. Jest specjalny dział na indukcję. Przedstawione rozumowanie pasuje jednak do teorii liczb.
Istota sprawy jest prosta: wśród trzech kolejnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\) mamy liczbę podzielną przez dwa i liczbę podzielną przez 3, skąd ten iloczyn jest podzielny przez 6. Jeśli wśród tych liczb jest też podzielna przez 5, to dowód zakończony. Powiedzmy więc, że wśród liczb \(\displaystyle{ n-1,n,n+1}\) nie ma liczby podzielnej przez 5. Możliwe jest to wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n=5k+2}\) lub \(\displaystyle{ n=5k+3}\). Wtedy \(\displaystyle{ n^2+1}\) jest podzielne przez 5, co łatwo sprawdzić podnosząc do kwadratu. Więc wśród liczb \(\displaystyle{ n-1,n,n+1,n^2+1}\) zawsze jest liczba parzysta, liczba podzielna przez 3 i liczba podzielna przez 5, skąd iloczyn jest podzielny przez 30.
Rozpisałem się, ale wyjaśniłem sprawę dość dokładnie. Nie lubię indukcji tam, gdzie jej nie trzeba.
Przypadkiem zatem post znalazł się w dobrym dziale. Jest specjalny dział na indukcję. Przedstawione rozumowanie pasuje jednak do teorii liczb.