Zależności liczb naturalnych

[Elek112]

Mam 3 zadania, które sprawiły mi problem. Proszę o jakieś doprowadzenie mnie do dobrego rozwiązania.

1) Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) naturalnych zachodzi:

\(\displaystyle{ n^{3} < n!}\)

2) \(\displaystyle{ \forall n}\) naturalnych dodatnich zachodzi

\(\displaystyle{ \sqrt{n} \cdot {2n\choose n} \le 2^{n+ \frac{1}{2} }}\)

3) Udowodnij dla \(\displaystyle{ \forall n \ge 5}\), że

\(\displaystyle{ n^{2} < 2^{n}}\)

[tortoise]

Zadania na indukcję matematyczną. Znajdź pierwszy wyraz dla \(\displaystyle{ n \in N}\), dla którego nierówność jest prawdziwa, oznacz jako \(\displaystyle{ T _{n}}\). Musisz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ T _{n} \Rightarrow T _{n+1}}\)

Pozdrawiam

[arek1357]

Coś z drugim, masz lipę bo nie działa dla n=2 i pewnie dla n=3 też nie działa boję się sprawdzać czy dla 4 działa-- 7 grudnia 2011, 21:48 --w pierwszym ci leci od 6 w górę nno i indukcją to pociąg zresztą sposobów jest pewnie sporo

[tortoise]

Drugie spełnia dla \(\displaystyle{ n=1}\). Teraz indukcyjnie pokaż, że \(\displaystyle{ T _{n+1}}\) nie zachodzi.

[Elek112]

Narazie wasze odpowiedzi to takie bardziej gdybanie niż podpowiedzi. Powiem tak, zadania da się rozwiązać na pewno, a co to indukcja to też wiem tylko jak ją zastosować tutaj to o to mi chodzi. Wierze, że dacie rade pomóc z zadaniami z pierwszej liceum

co do 1) to moge zrobić tak? :

Znajduje ze dla n > 5 ta nierówność sie zgadza i wykonuje krok indukcyjny

skoro \(\displaystyle{ (n)^{3} < n!}\)

\(\displaystyle{ 6^{3} < 6!}\)<--- zał. indukcyjne

to \(\displaystyle{ (n+1)^{3} < (n+1)!}\)

\(\displaystyle{ 7^{3} < 6! + 7! - 6!}\)

\(\displaystyle{ 6^{3} + 127 < 6! + 4320}\) Usuwam zał. indukcyjne z tezy

\(\displaystyle{ 127 < 4320}\)
C.N.U

Tak to ma wyglądać?

[tortoise]

Mniej więcej tak, tylko nie robisz, że \(\displaystyle{ n+1=7}\), bo to ma być dla wszystkich n+1. Więc na literkach.

Drugie napisałem. Spełnia dla jedynki, sprawdzasz, czy \(\displaystyle{ T _{n} \Rightarrow T _{n+1}}\). Jeżeli nieprawda, to tylko 1 spełnia.

Trzecie typowa indukcja. Nie wiem, czego więcej chcesz oprócz 'gdybania'. Na gotowca nie licz.

[Elek112]

no dobra 3)

\(\displaystyle{ n^{2} < 2^{n}}\) założenie indukcyjne

\(\displaystyle{ (n+1)^{2} < 2^{n+1}}\) teza

\(\displaystyle{ n^{2} + 2n + 1 < 2^{n+1}}\) wywalam zał. ind.

\(\displaystyle{ 2n + 1 < 2^{n}}\) podstawiam 5

\(\displaystyle{ 11 < 32}\)

Nie myśl se, że licze na gotowca, rzecz w tym, że jak pamiętam z lekcji akurat to zadanie to ono było rozpisywane na jakieś nawiasy z x i y do jakichs potęg i to skomplikowanie wyglądało dość, a to rozwiazując w ten sposób to straszny banał, więc albo coś ja źle pamiętam albo to jakiś lepszy dowód jest.

[arek1357]

Ja tu nie gdybam tylko mówię że drugi przykład to lipa i nie zachodzi

[Elek112]

Nie wiem jednak, jak to drugie rozpisać nie używając gdybania. Tego nie robi sie tak tradycyjnie przecież... bo tutaj rzecz polega na kwantyfikatorze. Nie mamy zaznaczone, że dla każdego n naturalnego dodatniego tylko, że istanieje n "takie że ...".

[tortoise]

Szczerze powiedziawszy, to nie rozumiem Twojego zapisu kwantyfikatorów porównując zapis (2) i (3). Poza tym skoro istnieje \(\displaystyle{ n \in N}\), mianowicie \(\displaystyle{ n=1}\), to czy nie spełnia to warunku? Indukcyjnie pokażesz, że inne n nie spełniają.

Do 2) chyba powinno być: \(\displaystyle{ \exists n\in N: \sqrt{n} \cdot {2n\choose n} \le 2^{n+ \frac{1}{2} }}\)

3) Udowodnij, że \(\displaystyle{ \forall n \ge 5, n \in N: n^{2} < 2^{n}}\)

/Teraz zobaczyłem:

Założenie: \(\displaystyle{ \forall n \ge 5, n \in N: n^2 < 2^n}\)
Teza: \(\displaystyle{ (n+1)^{2} < 2^{n+1}}\)

Rozłóżmy tezę: \(\displaystyle{ P = 2^{n+1} = 2^n \cdot 2 > 2 \cdot n^{2}}\) - z założenia
Więc wystarczy pokazać, że: \(\displaystyle{ 2 \cdot n^2 > (n+1)^{2}}\)

[Elek112]

Rozpisz mi może to drugie, albo zacznij chociaż, bo ja nie wiem jak indukcyjnie mam dowieść sprzeczności dla \(\displaystyle{ n > 1}\)

[tortoise]

Założenie: \(\displaystyle{ T _{n}: \sqrt{n} \cdot {2n\choose n} \le 2^{n+ \frac{1}{2} }}\) - OK.
Teza: \(\displaystyle{ \sqrt{n+1} \cdot {2n+2\choose n+1} \le 2^{n+ \frac{3}{2} }}\)

Rozpisujemy tezę: \(\displaystyle{ P = 2^{n+ \frac{3}{2}} = 2 \cdot 2^{n+ \frac{1}{2}} \ge 2 \cdot \sqrt{n} \cdot {2n\choose n}}\) - z założenia.

Żeby teza była prawdziwa, prawdziwa musi być nierówność:
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sqrt{n} \cdot {2n\choose n} \ge \sqrt{n+1} \cdot {2n+2\choose n+1}}\)

Po częściowym skróceniu rozpisanych dwumianów Newtona otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{n} \ge \sqrt{n+1} \cdot \frac{2n+1}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n} \ge \frac{2n+1}{\sqrt{n+1}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n+1)} \ge 2n+1}\)
\(\displaystyle{ n^2 + n \ge 4n^2 + 4n + 1}\)
\(\displaystyle{ 3n^2 + 3n + 1 \le 0}\), co nie jest prawdą na \(\displaystyle{ n \in N}\)

Zatem teza nie zachodzi.

[RSM]

Zachodzi taka nierówność: 267155.htm

Tartoise: nie udowadniasz w ten sposób, że nierówność nie zachodzi, co najwyżej pokazujesz, że tym sposobem nie da się jej udowodnić.

[pawelsuz]

no dobra 3)

\(\displaystyle{ n^{2} < 2^{n}}\) założenie indukcyjne

\(\displaystyle{ (n+1)^{2} < 2^{n+1}}\) teza

\(\displaystyle{ n^{2} + 2n + 1 < 2^{n+1}}\) wywalam zał. ind.

\(\displaystyle{ 2n + 1 < 2^{n}}\) podstawiam 5

Dobrze do momentu, w ktorym chcesz podstawic 5. Tak robić nie można. Korzystasz tylko założeniem indukcyjnym (prawdziwosc dla n) a nie bazą (prawdziwosc dla 5).
Zauważ że \(\displaystyle{ 2n+1<n^2}\)

[Elek112]

To jak z tym pierwszym, jak je zrobić bez wstawiania liczb?