Wykaż, że wyrażenie:
\(\displaystyle{ W = \frac {1}{x-y} + \frac {1}{y-z} + \frac {1}{z-x}}\)
jest dodatnie dla wszystkich liczb takich, że x > y > z.
Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, proszę o wskazówki/rozwiązanie, bo to zadanie trapi tylko moją ciekawość, nie jest przymusem .
Udowodnij, że wyrażenie...
-
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 27 wrz 2010, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jasło
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 2 razy
Udowodnij, że wyrażenie...
Tak też zrobiłem, ale wcześniej zagmatwałem się w liczeniu licznika i nie wyszło.
Teraz zrobiłem tak (dla uproszczenia opuściłem mianownik):
\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z) < 0}\)
\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(x-y)[(z-x)+(y-z)] = (y-z)(z-x)+(x-y)(y-x)}\)
\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(-x^2-y^2)}\)
\(\displaystyle{ -x^2 < -y^2 \Rightarrow -x^2 - y^2 < 0}\)
\(\displaystyle{ (y-z) > 0; (z-x) < 0 \Rightarrow (y-z)(z-x) < 0}\)
Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną, co kończy dowód.
Dobrze ?
Teraz zrobiłem tak (dla uproszczenia opuściłem mianownik):
\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z) < 0}\)
\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(x-y)[(z-x)+(y-z)] = (y-z)(z-x)+(x-y)(y-x)}\)
\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(-x^2-y^2)}\)
\(\displaystyle{ -x^2 < -y^2 \Rightarrow -x^2 - y^2 < 0}\)
\(\displaystyle{ (y-z) > 0; (z-x) < 0 \Rightarrow (y-z)(z-x) < 0}\)
Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną, co kończy dowód.
Dobrze ?
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Udowodnij, że wyrażenie...
Miałeś raczej na myśli \(\displaystyle{ -x^2 < y^2 \Rightarrow -x^2 - y^2 < 0}\), poza tym dobrze.\(\displaystyle{ -x^2 < -y^2 \Rightarrow -x^2 - y^2 < 0}\)