Udowodnij, że wyrażenie...

[mocniej]

Wykaż, że wyrażenie:

\(\displaystyle{ W = \frac {1}{x-y} + \frac {1}{y-z} + \frac {1}{z-x}}\)

jest dodatnie dla wszystkich liczb takich, że x > y > z.

Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, proszę o wskazówki/rozwiązanie, bo to zadanie trapi tylko moją ciekawość, nie jest przymusem .

[marcinz]

Sprowadź do wspólnego mianownika, którym jest \(\displaystyle{ (x-y)(y-z)(z-x)<0}\). Trzeba więc pokazać, że licznik jest ujemny.

[mocniej]

Tak też zrobiłem, ale wcześniej zagmatwałem się w liczeniu licznika i nie wyszło.

Teraz zrobiłem tak (dla uproszczenia opuściłem mianownik):

\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z) < 0}\)

\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(x-y)[(z-x)+(y-z)] = (y-z)(z-x)+(x-y)(y-x)}\)

\(\displaystyle{ (y-z)(z-x)+(-x^2-y^2)}\)

\(\displaystyle{ -x^2 < -y^2 \Rightarrow -x^2 - y^2 < 0}\)

\(\displaystyle{ (y-z) > 0; (z-x) < 0 \Rightarrow (y-z)(z-x) < 0}\)

Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną, co kończy dowód.

Dobrze ?

[marcinz]

\(\displaystyle{ -x^2 < -y^2 \Rightarrow -x^2 - y^2 < 0}\)

Miałeś raczej na myśli \(\displaystyle{ -x^2 < y^2 \Rightarrow -x^2 - y^2 < 0}\), poza tym dobrze.