Wykaz ze liczba jest kwadratem

[Piotrek5000]

1.Wykazać, że jeżeli liczba m jest sumą kwadratów liczb całkowitych, to liczba 13 m też ma tę własność.
2.Wykazać, że każda z liczb 121, 10201, 1002001, 100020001 jest kwadratem liczby naturalnej.

[mat_61]

1) czy jest jakiś związek pomiędzy liczbą m a 13? Jeżeli nie to nie wiem o co chodzi, bo liczba 13 ma tą własność niezależnie od liczby m:

\(\displaystyle{ 13=2^2+3^2}\)

2)Wskazówka:

\(\displaystyle{ 121=(10+1)^2}\)

\(\displaystyle{ 10210=(100+1)^2}\)

[Piotrek5000]

Mat pomylka tam mialo byc 13m a nie 13 .

[Zordon]

Niech \(\displaystyle{ m=a^2+b^2}\)

\(\displaystyle{ 13m=(2a-3b)^2+(3a+2b)^2}\)

[Piotrek5000]

Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej a , wyrażenie \(\displaystyle{ a(a+1)(a+2)(a+3) + 1}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

[Psiaczek]

Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej a , wyrażenie \(\displaystyle{ a(a+1)(a+2)(a+3) + 1}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

zauważ,że \(\displaystyle{ a(a+3)=(a+1)(a+2)-2}\)

stąd mamy:

\(\displaystyle{ a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a+1)(a+2)[(a+1)(a+2)-2]+1=[(a+1)(a+2)]^2-2(a+1)(a+2)+1=[(a+1)(a+2)-1]^2}\)