Wyznacz wszystkie pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) liczb całkowitych dodatnich, takich ze \(\displaystyle{ a \neq b}\) oraz \(\displaystyle{ b^2+a =p^m}\) , (gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczba pierwsza a \(\displaystyle{ m}\) naturalna) oraz \(\displaystyle{ b^2 + a|a^2 + b}\).
Jakieś wskazówki?
Wyznacz wszystkie pary
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Wyznacz wszystkie pary
To kilka wskazówek, bo mam niewiele czasu:
\(\displaystyle{ b^2 + a \equiv 0 (mod \ p^m) \\ b + a^2 \equiv 0 (mod \ p^m)}\)
Z tego \(\displaystyle{ b+b^4 \equiv 0 \iff b(b^3+1) \equiv 0}\)
NWD obu nawiasów jest = 1, zatem może być \(\displaystyle{ p^m | b}\) lub \(\displaystyle{ p^m | (b^3+1)}\), zgodnie z równością \(\displaystyle{ b^2+a=p^m}\) pierwszy przypadek odpada, podobnie robimy dla a. Stąd mamy:
\(\displaystyle{ p^m | (b^3+1)}\) i \(\displaystyle{ p^m | (a^3+1)}\)
Czy to drugie jest pomocne, na ten moment nie wiem, ale kontynuujmy z b:
\(\displaystyle{ 0 \equiv b^3+1 = (b+1)(b^2-b+1)}\)
NWD obu nawiastów jest = \(\displaystyle{ NWD(b+1,(b+1)^2,3)=NWD(b+1,3) \in \lbrace 1,3 \rbrace}\), zatem gdyby \(\displaystyle{ p \neq 3}\), to albo \(\displaystyle{ p^m | (b+1)}\), albo \(\displaystyle{ p^m | (b^2-b+1)}\). Oba warunki odpadają szybko w związku z tym, że \(\displaystyle{ b^2+a=p^m}\) i liczby a, b są różne.
Zatem wiemy, że \(\displaystyle{ p=3}\) i \(\displaystyle{ NWD(b+1,b^2-b+1)=3}\), czyli na jeden nawias przypada jedna "trójka", a na drugi pozostałe \(\displaystyle{ 3^{m-1}}\).
Dokończyć nie mam czasu, a ciekawią mnie rozwiązania, byłbym wdzięczny za dokończenie tego rozumowania. Wszystkie kongruencje były \(\displaystyle{ (mod \ p^m)}\).
\(\displaystyle{ b^2 + a \equiv 0 (mod \ p^m) \\ b + a^2 \equiv 0 (mod \ p^m)}\)
Z tego \(\displaystyle{ b+b^4 \equiv 0 \iff b(b^3+1) \equiv 0}\)
NWD obu nawiasów jest = 1, zatem może być \(\displaystyle{ p^m | b}\) lub \(\displaystyle{ p^m | (b^3+1)}\), zgodnie z równością \(\displaystyle{ b^2+a=p^m}\) pierwszy przypadek odpada, podobnie robimy dla a. Stąd mamy:
\(\displaystyle{ p^m | (b^3+1)}\) i \(\displaystyle{ p^m | (a^3+1)}\)
Czy to drugie jest pomocne, na ten moment nie wiem, ale kontynuujmy z b:
\(\displaystyle{ 0 \equiv b^3+1 = (b+1)(b^2-b+1)}\)
NWD obu nawiastów jest = \(\displaystyle{ NWD(b+1,(b+1)^2,3)=NWD(b+1,3) \in \lbrace 1,3 \rbrace}\), zatem gdyby \(\displaystyle{ p \neq 3}\), to albo \(\displaystyle{ p^m | (b+1)}\), albo \(\displaystyle{ p^m | (b^2-b+1)}\). Oba warunki odpadają szybko w związku z tym, że \(\displaystyle{ b^2+a=p^m}\) i liczby a, b są różne.
Zatem wiemy, że \(\displaystyle{ p=3}\) i \(\displaystyle{ NWD(b+1,b^2-b+1)=3}\), czyli na jeden nawias przypada jedna "trójka", a na drugi pozostałe \(\displaystyle{ 3^{m-1}}\).
Dokończyć nie mam czasu, a ciekawią mnie rozwiązania, byłbym wdzięczny za dokończenie tego rozumowania. Wszystkie kongruencje były \(\displaystyle{ (mod \ p^m)}\).
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Wyznacz wszystkie pary
Tam powinien być "+" a nie ",". Mianowicie: \(\displaystyle{ NWD(b+1,b^2-b+1)=NWD(b+1,b^2-b+1+3b+3)=NWD(b+1,(b+1)^2+3)=NWD(b+1,3)}\)
A co do końcówki poprzedniego, widzę, że nikt się nie pofatygował napisać. Ponieważ na każdy nawias mamy po co najmniej jednej trójce, to \(\displaystyle{ m \ge 2}\). Stąd gdy \(\displaystyle{ 3^{m-1}|b-1}\) to \(\displaystyle{ b^2>3^m=b^2+a}\), czyli sprzeczność. Zostaje absolutnie ostatni przypadek, czyli \(\displaystyle{ 3^{m-1}|(b^2-b+1)}\).
Co oznacza: \(\displaystyle{ b^2-b+1=t*3^{m-1}}\). Pokazujemy jak we wcześniejszym poście, że \(\displaystyle{ t \ge 3 \Rightarrow b^2>3^m}\). Liczba \(\displaystyle{ b^2-b+1}\) jest też nieparzysta, stąd \(\displaystyle{ t \neq 2}\), czyli \(\displaystyle{ t=1}\) i \(\displaystyle{ b^2-b+1=3^{m-1}}\).
Dopełniamy to do kwadratu: \(\displaystyle{ (2b-1)^2 = 3(4 \cdot 3^{m-2}-1)}\). Gdyby \(\displaystyle{ m \ge 3}\), to prawa strona nie byłaby kwadratem, bo dzieli się przez 3, ale nie przez 9, sprzeczność. Zatem ostatecznie \(\displaystyle{ m=2}\). Wstawiając więc \(\displaystyle{ m=2}\) mamy: \(\displaystyle{ (2b-1)^2=3^2 \iff b=2}\) (bo dodatnie), stąd \(\displaystyle{ a=p^m-b^2=3^2-2^2=5}\) i sprawdzamy, czy się zgadza. Na szczęście tak, więc jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (a,b,p,m)=(5,2,3,2)}\).
A co do końcówki poprzedniego, widzę, że nikt się nie pofatygował napisać. Ponieważ na każdy nawias mamy po co najmniej jednej trójce, to \(\displaystyle{ m \ge 2}\). Stąd gdy \(\displaystyle{ 3^{m-1}|b-1}\) to \(\displaystyle{ b^2>3^m=b^2+a}\), czyli sprzeczność. Zostaje absolutnie ostatni przypadek, czyli \(\displaystyle{ 3^{m-1}|(b^2-b+1)}\).
Co oznacza: \(\displaystyle{ b^2-b+1=t*3^{m-1}}\). Pokazujemy jak we wcześniejszym poście, że \(\displaystyle{ t \ge 3 \Rightarrow b^2>3^m}\). Liczba \(\displaystyle{ b^2-b+1}\) jest też nieparzysta, stąd \(\displaystyle{ t \neq 2}\), czyli \(\displaystyle{ t=1}\) i \(\displaystyle{ b^2-b+1=3^{m-1}}\).
Dopełniamy to do kwadratu: \(\displaystyle{ (2b-1)^2 = 3(4 \cdot 3^{m-2}-1)}\). Gdyby \(\displaystyle{ m \ge 3}\), to prawa strona nie byłaby kwadratem, bo dzieli się przez 3, ale nie przez 9, sprzeczność. Zatem ostatecznie \(\displaystyle{ m=2}\). Wstawiając więc \(\displaystyle{ m=2}\) mamy: \(\displaystyle{ (2b-1)^2=3^2 \iff b=2}\) (bo dodatnie), stąd \(\displaystyle{ a=p^m-b^2=3^2-2^2=5}\) i sprawdzamy, czy się zgadza. Na szczęście tak, więc jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ (a,b,p,m)=(5,2,3,2)}\).