Udowodnij rownosc

[ogre]

1/ Udowodnij ze jesli dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) elementu grupy \(\displaystyle{ (G,\cdot )}\) zachodzi \(\displaystyle{ a \cdot a=e}\) (e - element neutralny) to \(\displaystyle{ (\forall a,b \in G)a \cdot b=b \cdot a}\)

[Adifek]

Stąd, że \(\displaystyle{ a^{2}=e}\) mamy, że \(\displaystyle{ a=a^{-1}}\).

Zatem \(\displaystyle{ ab=aeb=aa^{-1}a^{-1}b=a^{-1}b=a^{-1}eb=a^{-1}b^{-1}b^{-1}b=a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}}\).
Ale \(\displaystyle{ ba=(ba)^{-1}}\), więc mamy, że \(\displaystyle{ ab=ba}\).

[ogre]

Dlaczego zostalo przyjete ze \(\displaystyle{ b=b^{-1}}\)

[Jan Kraszewski]

Stąd, że \(\displaystyle{ a^{2}=e}\) mamy, że \(\displaystyle{ a=a^{-1}}\).

JK

[ogre]

Jak wygladalby taki dowod dla \(\displaystyle{ a+a=e}\), ..., \(\displaystyle{ a+b=b+a}\) ?

Rozumiem ze elementem naturalnym byloby tutaj 0, ale co dalej?:)

[Jan Kraszewski]

To ten sam dowód, tylko znaczki są inne.

JK