Arytmetyka modularna - wielomiany

[danio1021]

Mam jutro kolosa z algebry i utknąłem na jednym zadaniu, a mianowicie w przykładowych zadaniach mam znaleźć pierwiastki i rozłożyć na czynniki wielomian:

\(\displaystyle{ x^{3} + x^{2} - x + 6}\) w: \(\displaystyle{ F_{7}}\)

Bardzo prosiłbym o rozwiązanie tego, albo przynajmniej wytłumaczenie jak to działa

Dość ciężko mi znaleźć coś sensownego co zrozumiem na szybko w necie, więc jesteście moją ostatnią nadzieją

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ 6=-1}\) w \(\displaystyle{ F_7}\).

W ogólnym przypadku niełatwo zrobić rozkład i trudno podać jakąś uniwersalną metodę, tak jak w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Zasadniczo, podobnie jak przy okazji robienia rozkładu w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) można się posiłkować pierwiastkami wielomianu i grupowaniem wyrazów, ponieważ dodawanie i mnożenie są przemienne i łączne oraz mamy rozdzielność - a więc mamy wszystkie potrzebne własności (no i mamy jednoznaczność rozkładu, bo \(\displaystyle{ F_7}\) jest ciałem). Można też stosować wzory skróconego mnożenia. Dodatkowo, tutaj masz różne fajne własności (np. ta, którą zapisałam na początku posta), które ułatwiają korzystanie z pierwiastków i grupowania. Poza tym, pierwiastki można też znajdować metodą brute-force - podstawiać po kolei wszystkie elementy i sprawdzać, które zerują wielomian.

Pozdrawiam.

[danio1021]

Mógłbyś mi jeszcze wytłumaczyć dlaczego \(\displaystyle{ 6=-1}\) w \(\displaystyle{ F_7}\) ?

Czyli rozwiązuję to jako normalny wielomian tak jakby w R, ale jeśli pojawi mi się gdziekolwiek liczba \(\displaystyle{ \ge 7}\) to zamieniam ją z powrotem na \(\displaystyle{ F_7}\) ?

I jeszcze jedno pytanie, jak interpretować liczby ujemne w jakimś tam ciele skończonym?
Chodzi o to, żeby \(\displaystyle{ a = -b}\) w \(\displaystyle{ F_n}\) to \(\displaystyle{ a+b=n}\) tak?

[BettyBoo]

Czyli rozwiązuję to jako normalny wielomian tak jakby w R, ale jeśli pojawi mi się gdziekolwiek liczba \(\displaystyle{ \ge 7}\) to zamieniam ją z powrotem na \(\displaystyle{ F_7}\) ?

Nie, nie, nie...nie to napisałam....Napisałam tylko, że idea jest taka jak w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Jednak wszystkie działania musisz wykonywać w \(\displaystyle{ F_7}\).

\(\displaystyle{ -1}\) w \(\displaystyle{ F_7}\) nie oznacza liczby ujemnej, tylko element przeciwny do \(\displaystyle{ 1}\) (obczaj w kajeciku pod hasłem "element przeciwny").
Równość, którą zapisałam, zachodzi z definicji elementu przeciwnego: \(\displaystyle{ -1=6}\) w \(\displaystyle{ F_7}\), ponieważ \(\displaystyle{ 6+1=0}\) w \(\displaystyle{ F_7}\).

Pozdrawiam.

[danio1021]

Podziękował ślicznie - teraz już jest wszystko jasne