Liczby podzielne przez 7

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
ania444
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 27 paź 2011, o 22:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 15 razy

Liczby podzielne przez 7

Post autor: ania444 »

Ile najwięcej liczb można wybrać w taki sposób, by nie było wśród nich ani takich dwóch liczb, których różnica jest podzielna przez 7, ani takich dwóch liczb, których suma jest podzielna przez 7?

Z góry dzięki
Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

Liczby podzielne przez 7

Post autor: JakimPL »

Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ 4}\). Oznaczmy te liczby jako \(\displaystyle{ a_1}\), \(\displaystyle{ a_2}\) etc., aż do \(\displaystyle{ a_n}\). Zauważmy też, że z tego, że sumy i różnice tych liczb nie dzielą się przez \(\displaystyle{ 7}\) nie wynika, że same te liczby nie mogą być podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\).

Możemy zapisać te liczby w postaci:

\(\displaystyle{ a_n = 7k_n+z_n, \ k_n, z_n \in\mathbb{N}, z_n<7}\)

Istotne będzie badanie tylko \(\displaystyle{ z_n}\) tych liczb, wielokrotności siódemki można pominąć (dlaczego?). Wśród tych liczb nie mogą występować dwie takie liczby, że \(\displaystyle{ z_i=z_j}\) (ich różnice są równe \(\displaystyle{ 0}\), a więc podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\)) oraz \(\displaystyle{ z_i+z_j=7}\).

Skonstruujmy takie liczby. Wybierając pierwszą liczbę \(\displaystyle{ a_n=z_n}\), z poprzedniego zdania wynika, że nie możemy wybrać liczby \(\displaystyle{ 7-z_n}\), ani drugiej takiej liczby \(\displaystyle{ z_n}\). Zostało \(\displaystyle{ 5}\) możliwych liczb do wyboru, a więc skreśliliśmy dwie liczby. Teraz z tych \(\displaystyle{ 5}\) wybieramy kolejną. Po raz kolejny musimy skreślić wybraną liczbę oraz liczbę \(\displaystyle{ 7-z}\), zostawiając w ten sposób \(\displaystyle{ 3}\) liczby. Z nich możemy już otrzymać maksymalnie \(\displaystyle{ 2}\) liczby spełniające warunki zadania, a zatem maksymalnie można wybrać tylko \(\displaystyle{ 4}\) takie liczby.
ania444
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 27 paź 2011, o 22:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 15 razy

Liczby podzielne przez 7

Post autor: ania444 »

Dziękuję bardzo
ODPOWIEDZ