Znajdź wszystkie liczby n dla których liczba A jest kwadratem liczby całkowitej.
a) A=\(\displaystyle{ 4^{n}- 3^{n}}\)
A=\(\displaystyle{ 7^{n}- 6^{n}}\)
Znajdź wszystkie liczby n
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Znajdź wszystkie liczby n
1) Niech dla pewnych naturalnych n,k:
\(\displaystyle{ 4^n-3^n = k^2 \Leftrightarrow 2^{2n}-3^n=k^2 \Leftrightarrow 3^n=(2^n-k)(2^n+k)}\)
Zatem oba czynniki \(\displaystyle{ 2^n-k}\), \(\displaystyle{ 2^n+k}\) muszą być pewnymi potęgami 3, jednak oba z nich nie mogą się dzielić przez 3 (wówczas ich suma równa \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) również byłaby podzielna przez 3 skąd sprzeczność), więc jeden z nich ma być równy 1, ale \(\displaystyle{ 2^n-k < 2^n+k}\) więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^n+k = 3^n\\ 2^n-k=1 \end{cases}}\)
Odejmując stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ 2k = 3^n-1 \Leftrightarrow k = \frac{3^n-1}{2}}\), wstawiamy do 1 równania:
\(\displaystyle{ 2^n+\frac{3^n-1}{2} = 3^n \Leftrightarrow 2^n = 3^n-\frac{3^n-1}{2} = \frac{3^n+1}{2} \Leftrightarrow 2^{n+1} = 3^n+1}\)
Można jednak indukcyjnie pokazać, że dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) prawa strona jest większa od lewej, więc zostają do rozpatrzenia przypadki \(\displaystyle{ n=0 \vee n=1}\) które istotnie spełniają tezę.
2) Widzimy, że \(\displaystyle{ n=0 \vee n=1}\) spełniają tezę, niech \(\displaystyle{ n\ge 2}\). Jeżeli dla pewnego całkowitego dodatniego k, \(\displaystyle{ n=4k+1}\) to:
\(\displaystyle{ 7^n-6^n \equiv 7^{4k+1}-6^{4k+1} \equiv (-1)^{4k+1}-2^{4k+1} \equiv -1-2^{4k+1} \equiv -1 \equiv 3\pmod{4}}\) skąd sprzeczność, bo 3 jest nieresztą kwadratową modulo 4.
Jeżeli \(\displaystyle{ n=4k+3}\) to:
\(\displaystyle{ 7^n-6^n \equiv 7^{4k+3}-6^{4k+3} \equiv 2^{4k+3}-1 \equiv 2^3\cdot 2^{4k}-1 \equiv 8\cdot 16^k-1 \equiv 8-1 \equiv 2\pmod{5}}\) skąd sprzeczność, bo 2 jest nieresztą kwadratową modulo 5.
Zostały więc przypadki gdy n jest parzyste. Niech dla pewnego całkowitego dodatniego a będzie \(\displaystyle{ n=2a}\), wówczas:
\(\displaystyle{ 7^n-6^n = k^2 \Leftrightarrow 7^{2a}-6^{2a}=k^2 \Leftrightarrow (7^a-k)(7^a+k)=6^{2a}}\), oba czynniki mają zatem być potęgami 6, jednak jeżeli oba byłby większe od 1, to podzielna przez 6 byłaby ich suma - \(\displaystyle{ 2\cdot 7^a}\) co jest nieprawdą, czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7^a+k = 6^{2a}\\ 7^a-k=1 \end{cases}}\)
A tu już widzimy sprzeczność, bo z 1 równania wynika, że k musi być nieparzyste, a z drugiego, że musi być parzyste.
\(\displaystyle{ 4^n-3^n = k^2 \Leftrightarrow 2^{2n}-3^n=k^2 \Leftrightarrow 3^n=(2^n-k)(2^n+k)}\)
Zatem oba czynniki \(\displaystyle{ 2^n-k}\), \(\displaystyle{ 2^n+k}\) muszą być pewnymi potęgami 3, jednak oba z nich nie mogą się dzielić przez 3 (wówczas ich suma równa \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) również byłaby podzielna przez 3 skąd sprzeczność), więc jeden z nich ma być równy 1, ale \(\displaystyle{ 2^n-k < 2^n+k}\) więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^n+k = 3^n\\ 2^n-k=1 \end{cases}}\)
Odejmując stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ 2k = 3^n-1 \Leftrightarrow k = \frac{3^n-1}{2}}\), wstawiamy do 1 równania:
\(\displaystyle{ 2^n+\frac{3^n-1}{2} = 3^n \Leftrightarrow 2^n = 3^n-\frac{3^n-1}{2} = \frac{3^n+1}{2} \Leftrightarrow 2^{n+1} = 3^n+1}\)
Można jednak indukcyjnie pokazać, że dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) prawa strona jest większa od lewej, więc zostają do rozpatrzenia przypadki \(\displaystyle{ n=0 \vee n=1}\) które istotnie spełniają tezę.
2) Widzimy, że \(\displaystyle{ n=0 \vee n=1}\) spełniają tezę, niech \(\displaystyle{ n\ge 2}\). Jeżeli dla pewnego całkowitego dodatniego k, \(\displaystyle{ n=4k+1}\) to:
\(\displaystyle{ 7^n-6^n \equiv 7^{4k+1}-6^{4k+1} \equiv (-1)^{4k+1}-2^{4k+1} \equiv -1-2^{4k+1} \equiv -1 \equiv 3\pmod{4}}\) skąd sprzeczność, bo 3 jest nieresztą kwadratową modulo 4.
Jeżeli \(\displaystyle{ n=4k+3}\) to:
\(\displaystyle{ 7^n-6^n \equiv 7^{4k+3}-6^{4k+3} \equiv 2^{4k+3}-1 \equiv 2^3\cdot 2^{4k}-1 \equiv 8\cdot 16^k-1 \equiv 8-1 \equiv 2\pmod{5}}\) skąd sprzeczność, bo 2 jest nieresztą kwadratową modulo 5.
Zostały więc przypadki gdy n jest parzyste. Niech dla pewnego całkowitego dodatniego a będzie \(\displaystyle{ n=2a}\), wówczas:
\(\displaystyle{ 7^n-6^n = k^2 \Leftrightarrow 7^{2a}-6^{2a}=k^2 \Leftrightarrow (7^a-k)(7^a+k)=6^{2a}}\), oba czynniki mają zatem być potęgami 6, jednak jeżeli oba byłby większe od 1, to podzielna przez 6 byłaby ich suma - \(\displaystyle{ 2\cdot 7^a}\) co jest nieprawdą, czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7^a+k = 6^{2a}\\ 7^a-k=1 \end{cases}}\)
A tu już widzimy sprzeczność, bo z 1 równania wynika, że k musi być nieparzyste, a z drugiego, że musi być parzyste.