Dowód niewymierności

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
bar03
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 21 lis 2011, o 00:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 1 raz

Dowód niewymierności

Post autor: bar03 »

Niech \(\displaystyle{ a_{n}}\) bedzie ostatnia cyfra rozwiniecia dziesietnego liczby n! Udowodnic, że liczba \(\displaystyle{ \overline{2.a_{1}...}}\) jest niewymierna.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Dowód niewymierności

Post autor: Kartezjusz »

Coś mie gra,bo dla n>4 \(\displaystyle{ 10|n!}\) czyli jeżeli mamy ostatnie cyfry to nasza liczba powinna wynosić 2.1264000000000000000000000000000000...
czyli jest wymierna...
przodem08
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 23 lis 2011, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin

Dowód niewymierności

Post autor: przodem08 »

W tym zadaniu ostatnia cyfra rozwinięcia dziesiętnego n! to nie cyfra jedności, ale pierwsza cyfra występująca w zapisie tej liczby. Więc zadanie nie jest takie proste:)
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Dowód niewymierności

Post autor: Marcinek665 »

Wystarczy dowieść, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) w żadnym momencie się nie zapętla. Zapewne wynika to z jakichś własności silni. A jeśli nie, to będzie to pewnie jakieś strasznie trudne.
silvaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1300
Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 123 razy

Dowód niewymierności

Post autor: silvaran »

Podbijam temat. Ma ktoś jakieś przydatne wskazówki?
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Dowód niewymierności

Post autor: Sylwek »

Kolejną wskazówką będzie pomyślenie, jakie kolejne silnie mają "w miarę" podobną pierwszą cyfrę rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ n!}\). Dla przykładu liczby \(\displaystyle{ 10000!, 10001!, \ldots 10010!}\). Tych zer w środek możemy wstawić więcej i "końcówki" też mogą być większe.
ODPOWIEDZ