potęga potęg i jej podzielność przez 10

[anna_nowik]

Witam,
Dostałam takie zadanie i za bardzo nie wiem jak się zabrać, prosiłabym o jakąś wskazówkę:
\(\displaystyle{ 2^{3 ^{4 ^{5 ^{6 ^{7 ^{8 ^{9} } } } } } } mod _{10} = ?}\)

[Vax]

\(\displaystyle{ x \equiv 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^9}}}}}} \pmod{10} \Leftrightarrow \begin{cases} x \equiv 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^9}}}}}} \equiv 0 \pmod{2}\\ x \equiv 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^9}}}}}} \pmod {5} \end{cases}}\)

Ale \(\displaystyle{ 2^4 \equiv 1\pmod{5}}\) oraz \(\displaystyle{ 3^{4^{5^{6^{7^{8^9}}}}} \equiv (-1)^{4^{5^{6^{7^{8^9}}}}} \equiv 1 \pmod{4} \Leftrightarrow 3^{4^{5^{6^{7^{8^9}}}}} = 4k+1 , k\in \mathbb{Z_+}}\)

więc:
\(\displaystyle{ x \equiv 2^{3^{4^{5^{6^{7^{8^9}}}}}} \equiv 2^{4k+1} \equiv 2\cdot 2^{4k} \equiv 2\cdot 16^k \equiv 2 \pmod{5}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 0\pmod{2} \\ x \equiv 2\pmod{5} \end{cases} \Leftrightarrow x \equiv 2\pmod{10}}\)