Moc zbioru liczb o podanej właściwości

[Althorion]

(zdaję sobie sprawę ze słabego tytułu posta, ale nie miałem lepszego pomysłu )
Niech w systemie dziesiętnym \(\displaystyle{ [x]}\) oznacza sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ x}\), każdą podniesioną do swojej własnej potęgi, i tak na przykład \(\displaystyle{ [123] = 1^1 + 2^2 + 3^3}\). Wyznacz moc zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{A} = \{x : [x]=x\}}\).

[Justka]

dla \(\displaystyle{ 11-cyfrowej}\) liczby \(\displaystyle{ x}\) jest już \(\displaystyle{ [x]<x}\), bo \(\displaystyle{ 11\cdot 9^9< 10^{10}}\), więc "wystarczy" posprawdzać, liczby < 11 cyfrowe Warto sobie wyeliminować z góry kilka przypadków dla każdej \(\displaystyle{ 2,3,...,10- cyfrowej}\) liczby, które z pewnością nie "zadziałają".

Zapewne jest łatwiejszy sposób

[Althorion]

Mam nadzieję, konieczność sprawdzenia prawie stu miliardów liczb nie budzi u mnie zachwytu .

[abc666]

Prawdopodobnie tylko \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3435}\)