Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
aniu_ta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 667
Rejestracja: 27 gru 2010, o 18:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Pomorskie
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 92 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: aniu_ta »

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{NW}}\) i \(\displaystyle{ a<b}\), to istnieje taka liczba \(\displaystyle{ c \in \mathbb{NW}}\), że \(\displaystyle{ a<c<b}\).

Poprzednie zadanie miało podobną treść, tyle że dotyczyło zbioru liczb wymiernych, a nie niewymiernych. tam wystarczyło pokazać, że średnia arytmetyczna liczb \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb{W}}\) jest liczbą wymierną. Na to nie mam pomysłu, proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
Nakahed90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9096
Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 1871 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: Nakahed90 »

I tu jest tak samo.

@edit: Racja, trochę za szybko chciałem to rozwiązać. W przypadku NW nie zachodzi tak łatwo.
Ostatnio zmieniony 5 lis 2011, o 17:51 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 1 raz.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: »

Nakahed90 pisze:I tu jest tak samo.
Nie, średnia arytmetyczna liczb niewymiernych może być wymierna.

Co do zadania - można rozważyć ciąg liczb niewymiernych \(\displaystyle{ a+\frac 1n}\) i pokazać, że od pewnego miejsca jego elementy należą do przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\).

Q.
tatteredspire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 74 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: tatteredspire »

Ewentualnie można pokazać, że \(\displaystyle{ c=a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}}\) spełnia tę podwójną nierówność (\(\displaystyle{ b>a}\)) i jest liczbą niewymierną.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: Psiaczek »

tatteredspire pisze:Ewentualnie można pokazać, że \(\displaystyle{ c=a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}}\) spełnia tę podwójną nierówność (\(\displaystyle{ b>a}\)) i jest liczbą niewymierną.
Kontrprzykład: \(\displaystyle{ a=1- \sqrt{2},b=3-2 \sqrt{2},b-a=2- \sqrt{2}, \frac{b-a}{ \sqrt{2} } = \sqrt{2} -1}\)
tatteredspire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 74 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: tatteredspire »

\(\displaystyle{ \sqrt{2}-1}\) jest liczbą wymierną czy nie spełnia tej nierówności?
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: Psiaczek »

tatteredspire pisze:\(\displaystyle{ \sqrt{2}-1}\) jest liczbą wymierną czy nie spełnia tej nierówności?
\(\displaystyle{ c=1- \sqrt{2}+ \sqrt{2} -1=0}\) a ty obiecywałeś że \(\displaystyle{ c}\) będzie niewymierne
tatteredspire
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 2 wrz 2009, o 21:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 83 razy
Pomógł: 74 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: tatteredspire »

Racja, nie popatrzyłem na \(\displaystyle{ c}\).
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wykazanie istnienia liczby niewymiernej

Post autor: »

tatteredspire pisze:Ewentualnie można pokazać, że \(\displaystyle{ c=a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}}\) spełnia tę podwójną nierówność (\(\displaystyle{ b>a}\)) i jest liczbą niewymierną.
Ten sposób jest dobry, ale do wykazania innego faktu: że między dwiema wymiernymi liczbami znajduje się niewymierna.

Q.
ODPOWIEDZ