Postać liczby całkowitej różnej od 0

[Andrzejmm]

Miałem kłopot z takim zadaniem:
Dowieść, że każda liczba całkowita różna od 0 może być przedstawiona w postaci:
(3x-1)(2y-1), gdzie x i y są liczbami całkowitymi i podobnie w postaci:
(3x+1)(2y+1)

[arek1357]

jak za pomocą np drugiego sposobu:
(3x+1)(2x+1) przedstawisz dwójkę a jak 6???
wnioskuję że jest to fałszywe stwierdzenie

[ Dodano: 26 Styczeń 2007, 11:14 ]
chyba że chodzi o ujemne równierz???

[ Dodano: 26 Styczeń 2007, 11:34 ]
zapisać jako 2^k * n gdzie n nieparzyste wiadomo n=2y+1
można na plus lub minus
natomiast z wyrażenia: 3y+1 konstrujemy potęgę dwójki,
potęgę dwójki dostaniemy spośród liczb niepodzielnych przez 3(parzystych) .
dla k nieparzystego 2^k konstruujemy z 3y+1 kładąc y ujemne,
dla k parzystego za y kladziemy dodatnią np:
zamiast 8 bierzemy -8=-2^3=-3*3+1
a np 4 = 2^2=3*1+1 (4 ma wykładnik parzysty) a część nieparzystą bierzemy z części 2y+1 i znak też sobie możemy dobrać + lub -

[Andrzejmm]

Zapoznaj się z tym


[ Dodano: 26 Styczeń 2007, 13:31 ]
Nie każdą liczbę całkowitą można zapisać jako potęgę 2 razy jakaś liczba całkowita. Np
Sprawdź dla y=4 i x=-2 lub też x=16 y=0 w pierwszym przypadku a dla x=2 i y=-4 czy też x=0 y=24 w drugim wypadku.

[mol_ksiazkowy]

Andrzejmm napisał:

Miałem kłopot z takim zadaniem:
Dowieść, że każda liczba całkowita różna od 0 może być przedstawiona w postaci:
(3x-1)(2y-1), gdzie x i y są liczbami całkowitymi

Zrobmy tak...: wystarczy dla w>0, pokazac, ze jest to liczba wzmiankowanej postaci, tj w=(3x-1)(2y-1). .a wiec tu mamy:
1 gdy w jest nieparzyste, to x=0 i git
2 gdy w jest parzyste, ale dwójka w jej rozkladzie na czynniki pierwsze ,jest w nieparzystej potedze tj. \(\displaystyle{ w= k2^n \ k>0}\), liczby k i n są nieparzyste a wiec kładziemy... \(\displaystyle{ x= \frac{2^n +1}{3}}\), 2y-1=k

3 gdy w jest parzyste, ale dwójka w jej rozkladzie na czynniki pierwsze ,jest w parzystej potedze, tj mamy \(\displaystyle{ w= k4^n \ k>0}\) liczba k jest nieparzysta, a zato n jest dowolna l. naturalna ...ale wtedy: \(\displaystyle{ x= \frac{1- 4^n}{3}}\), i ... -k=2y-1
bedzie ok...?!

[Andrzejmm]

Ale trzeba dowieść, że \(\displaystyle{ 2^{n}+1}\) jest podzielne przez 3 dla n nieparzystych i \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\) dla n parzystych. Wiesz dlaczego cię o to proszę. w>0 dlaczego? To chyba tu nie ma znaczenia tak jak arek napisał twoje k może być dodatnie lub ujemne przy drugim czynniku o tych samych własnościach nie koniecznie tożsamych.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ a^m+b^m}\) jest podzielne przez a+b gdy m jest niepazryste, zaś co do w>0....gdy k=2y-1 dla pewnego y, to także -k=1-2y=2(1-y)-1....wiec dlatego takie załozenie wystarczy

[Andrzejmm]

Czy jest prawdziwe, że \(\displaystyle{ a^{m}-b^{m}}\) jest podzielne przez a+b dla m parzysztego.
Wskaż mi jeszcze gdzie mogę znaleźć dowód przytoczonej przez ciebie podzielności.

[mol_ksiazkowy]

a wiec....\(\displaystyle{ a^{m}-b^{m}}\) jeste podzielne przez a-b dla dowolnego m naturalnego, to wynika np ca wzorow skroconego mnozenia i podstawowych operacji algebraicznych...zobacz tutaj link

[Andrzejmm]

Wiadomo więc, że \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\) jest podzielne przez 1. Ale jeśli \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\) nie jest podzielne zawsze dla n parzystych przez 3 to w \(\displaystyle{ 3.}\) dla n parzystych może istnieć takie n, że x nie będzie liczbą całkowitą co jest warunkim zadania.

[mol_ksiazkowy]

wiezy ze \(\displaystyle{ x= 1- 4^n}\), jest liczba podzielna przez 1-4 = -3 tj x zdef. w ad 3 jest l. naturalna, ps. -->\(\displaystyle{ x= 1+ 2^n}\) jest podzielne przez 3, gdy n jest nieparzyste.

[Andrzejmm]

Tak, zgadza się.