dowód na nierówność

[Razirar]

Dowieść że dla \(\displaystyle{ p,q > 0}\) to
\(\displaystyle{ (pq+2q+2p+4)(p+q) \ge 16pq}\)
Uzasadnić kiedy zachodzi równość.

Doszedłem do : \(\displaystyle{ (p+2)(q+2)(p+q) \ge 16pq}\). Myślę, że trzeba to przekształcić do nierówności Cauchy'ego, tylko nie wiem jak.

[Vax]

\(\displaystyle{ (pq+2p+2q+4)(p+q) \ge 16pq \Leftrightarrow (p+2)(q+2)(p+q) \ge 16pq}\)

Ale \(\displaystyle{ (\sqrt{p}-\sqrt{2})^2 \ge 0 \Leftrightarrow p+2 \ge 2\sqrt{2p}}\)
Podobnie \(\displaystyle{ q+2 \ge 2\sqrt{2q}}\) oraz \(\displaystyle{ p+q \ge 2\sqrt{pq}}\)

Mnożąc te 3 nierówności dostajemy tezę.