Niech n bedzie liczba naturalna wieksza od 1. Niech \(\displaystyle{ A_n}\) bedzie zbiorem liczb naturalnych z ktorymi n nie jest wzglednie pierwsza. Liczbe n nazywamy zaczarowana jesli zbior \(\displaystyle{ A_n}\) jest zamkniety ze wzgledu na dodawanie. Znalezc wszystkie liczby zaczarowane.
Jakies wskazowki? Wedlug mnie sa to wszystkie liczby pierwsze we wszystkich naturalnych potegach.
Liczby zaczarowane
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Liczby zaczarowane
Nawet ładne zadanie:
Załóżmy, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest zaczarowana oraz \(\displaystyle{ \exists_{p.q\in \mathbb{P}} \ p\neq q}\) takie, że \(\displaystyle{ p|a\wedge q|a}\)
Wtedy na mocy założenia \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}} \ (p+qn,a)>1}\), ale z twierdzenia Dirichleta w tym ciągu mamy nieskończenie wiele liczb pierwszych, w szególności
\(\displaystyle{ \exists_{k\in \mathbb{N}} \ a<p+qk=r\in \mathbb{P}}\), co daje nam sprzeczność, bo oczywiście \(\displaystyle{ (a,r)=1}\)
Pozdrawiam
Załóżmy, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest zaczarowana oraz \(\displaystyle{ \exists_{p.q\in \mathbb{P}} \ p\neq q}\) takie, że \(\displaystyle{ p|a\wedge q|a}\)
Wtedy na mocy założenia \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}} \ (p+qn,a)>1}\), ale z twierdzenia Dirichleta w tym ciągu mamy nieskończenie wiele liczb pierwszych, w szególności
\(\displaystyle{ \exists_{k\in \mathbb{N}} \ a<p+qk=r\in \mathbb{P}}\), co daje nam sprzeczność, bo oczywiście \(\displaystyle{ (a,r)=1}\)
Pozdrawiam
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Liczby zaczarowane
Twierdzenie Dirichleta to zbyt potężna armata na takie zadanie.
Gdyby \(\displaystyle{ a=p_1^{b_1}\cdot ...\cdot p_k^{b_k}}\) była zaczarowana to rozważamy \(\displaystyle{ p_1^{b_1}+p_2^{b_2}\cdot ...\cdot p_k^{b_k}}\). Ta liczba jest względnie pierwsza z \(\displaystyle{ a}\) ponieważ nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p_1,...,p_k}\)
Gdyby \(\displaystyle{ a=p_1^{b_1}\cdot ...\cdot p_k^{b_k}}\) była zaczarowana to rozważamy \(\displaystyle{ p_1^{b_1}+p_2^{b_2}\cdot ...\cdot p_k^{b_k}}\). Ta liczba jest względnie pierwsza z \(\displaystyle{ a}\) ponieważ nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p_1,...,p_k}\)