dowód z liczbą niewymierną

[smmileey]

Niech x będzie liczbą niewymierną. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{\left|x \right| }}\) jest również liczbą niewymierną.

[szw1710]

Co by było, gdyby \(\displaystyle{ \sqrt{|x|}=\frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{N}}\), czyli gdyby ta liczba była wymierna?

[smmileey]

p i q musiały by być względnie pierwsze. Kombinuje tak od dłuższego czasu dowodem nie wprost, ale nic mi nie wychodzi. Następna wskazówka?:)


EDIT:Podniosłem obie strony równania do kwadratu i otrzymałem:

\(\displaystyle{ \left|x \right| = (\frac{p}{q})^2}\), a skoro p i q są względnie pierwsze ich kwadrat na pewno bedzie wartością wymierną, co koliduje z lewą stroną, gdyż wiemy, że x jest liczbą niewymierną. Zatem równanie jest sprzeczne, więc udowodnione, że \(\displaystyle{ \sqrt{\left| x\right| }}\) jest niewymierne.

Dobrze rozumuje?:)

[szw1710]

Czegoś nie rozumiem, moja odpowiedź jest natychmiastowa. Przecież po podniesieniu do kwadratu miałbyś, że \(\displaystyle{ |x|}\) jest wymierne, czyli \(\displaystyle{ x}\) także, wbrew założeniu. Na co tu względna pierwszość? Liczba wymierna ma wiele przedstawień. A może zadanie jest bardziej skomplikowane? Przeczytaj czy podałeś właściwą treść?

[smmileey]

p i q nie mogą być przecież byle jakimi liczbami, skoro zakładam, że \(\displaystyle{ \sqrt{\left| x\right|}}\) jest wymierny. Musi to być więc ułamek nieskracalny , czyli liczby muszą być względnie pierwsze.

[szw1710]

To nie ma żadnego znaczenia. Owszem, mogą być, bo "kanoniczna" postac liczby wymiernej jest w postaci ułamka nieskracalnego. Ale to naprawdę tutaj nie jest istotne. Przeczytaj mój poprzedni post, gdzie masz gotowca, niestety.