Nieskończenie wiele liczb pierwszych w ciągu arytmetycznym

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Nieskończenie wiele liczb pierwszych w ciągu arytmetycznym

Post autor: Zordon »

Pokazać, że w ciągu arytmetycznym \(\displaystyle{ 5n+3}\) jest nieskończenie wiele liczb pierwszych. Wszystkie znane mi metody dowodzenia takich faktów zawodzą. Żeby kogoś nie kusiło: nie wolno korzystać z twierdzeń Dirichleta etc.
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Nieskończenie wiele liczb pierwszych w ciągu arytmetycznym

Post autor: Inkwizytor »

Pierwsze spostrzeżenie na gorąco:
- podciąg o numerach nieparzystych można odrzucić bo wszystkie elementy parzyste \(\displaystyle{ a_1=8}\) i \(\displaystyle{ r'=10}\) zatem de facto do udowodnienia jest podciąg \(\displaystyle{ 10n+3}\)
ODPOWIEDZ