Wielomian jednorodny

[olgalagowska]

Niech \(\displaystyle{ F}\) bedzie wielomianem jednorodnym w \(\displaystyle{ \mathbb{C} [x,y]}\), niech \(\displaystyle{ F_{\ast}}\) bedzie jego dehomogenizacja w odniesieniu do \(\displaystyle{ y}\)("dehomogeneization with respect to y"). Rozwaz homogenizacje \(\displaystyle{ (F_{\ast})^{\ast}}\) w odniesieniu do tej samej zmiennej. Udowodnij ze \(\displaystyle{ F=y^t((F_{\ast})^{\ast})}\) dla \(\displaystyle{ t}\)

[olgalagowska]

Udowodnij, ze kazdy wielomian jednorodny \(\displaystyle{ F(x,y)\in\mathbb{C}[x,y]}\) rozklada sie na wielomiany liniowe: \(\displaystyle{ F(x,y)=(a_1x+b_1y)...(a_dx+b_dy)}\), gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest stopniem homogenizacji \(\displaystyle{ F}\). Czy moze istniec werjsa dla wiecej niz dwoch zmiennych?

[marcinz]

W pierwszym zapisz \(\displaystyle{ F= \sum_{i+j=n} a_{ij} x^i y^j}\), potem napisz wzory na \(\displaystyle{ F_{\ast}, (F_{\ast})^{\ast}}\).
W drugim pokaż, że istnieje wielomian liniowy \(\displaystyle{ ax+by}\), który dzieli \(\displaystyle{ F}\). Sprawdź, że jeśli \(\displaystyle{ F=GH}\), to \(\displaystyle{ G,H}\) są jednorodne, co pozwala Ci na indukcyjny dowód. Dla większej ilości zmiennych to twierdzenie nie zachodzi.