Znajdz rozwiazania

[silvaran]

Znajdz wszystkie wymierne rozwiazania rownania
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+3(x+y+z)+5=0}\)

Wszelkie wskazówki mile widziane!

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+3(x+y+z)+5=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+3(x+y+z)=-5}\)

\(\displaystyle{ x^2+3x+ \frac{9}{4} +y^2+3y+\frac{9}{4}+z^2+3z+\frac{9}{4}=-5+ \frac{27}{4}}\)

\(\displaystyle{ (x+ \frac{3}{2})^2+(y+ \frac{3}{2})^2 +(z+ \frac{3}{2})^2= \frac{7}{4}}\)

mnożymy przez 4

\(\displaystyle{ (2x+3)^2+(2y+3)^2+(2z+3)^2=7}\)

gdyby to równanie miało rozwiązania wymierne, liczba \(\displaystyle{ 7}\) byłaby sumą trzech kwadratów liczb wymiernych.

Otóż można pokazać że tak nie jest, z tym że ja nie umiem tego zrobić bez powoływania się na poważny dośc wynik z teorii liczb , więc dalej wątku nie ciągnę, ale może jakiś młody z kółka matematycznego zna szybki sposób jak tego dowieść.

[silvaran]

Czy ktoś może wie jak udowodnić to co Psiaczek, napisał powyżej?

Lub może ktoś ma inny pomysł

[Sylwek]

Inaczej ciężko to zrobić. Przedstawię skrótowy pomysł na to zadanie, warto wspomnieć, że ten fakt bardzo się przydał na zeszłorocznej Olimpiadzie Matematycznej. Jest to opisane na stronie polskiej OM, firmówka do 6. zadania z finału 62. OM.

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2+x_3^2=7}\) ma rozwiązanie w liczbach wymiernych, doprowadźmy więc je do wspólnego mianownika: \(\displaystyle{ \frac{a^2}{M^2} + \frac{b^2}{M^2}+\frac{c^2}{M^2}=7 \Rightarrow a^2+b^2+c^2+M^2 = 8M^2}\).

Mamy równanie nad liczbami całkowitymi (\(\displaystyle{ M \neq 0}\)), wybierzmy więc to o minimalnej sumie \(\displaystyle{ |a|+|b|+|c|+|M|}\)

Jednak kwadrat liczby całkowitej parzystej przy dzieleniu przez 8 daje resztę 0 lub 4, a kwadrat liczby całkowitej nieparzystej daje przy tym samym dzieleniu resztę 1 (sprawdź). Stąd prosto pokazać, że wszystkie \(\displaystyle{ a,b,c,M}\) muszą być parzyste (badamy modulo 8), zatem liczby całkowite \(\displaystyle{ \frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2},\frac{M}{2}}\) wstawione w miejscach a,b,c,M też spełniają w.w. równanie oraz suma ich modułów jest mniejsza od rozwiązania o MINIMALNEJ sumie modułów (bo \(\displaystyle{ M \neq 0}\)), sprzeczność.

Wyżej zaprezentowana metoda często się zwie metodą nieskończonego schodzenia. Oczywiście "7"-kę można zastąpić w tym rozwiązaniu dowolną liczbą postaci \(\displaystyle{ 8t+7}\)

[silvaran]

Dzięki, ale już udało mi się to udowodnić tak jak zapoczątkował to Psiaczek

[Sylwek]

Ależ właśnie to jest to, co zapoczątkował Psiaczek, a ja skończyłem, dla \(\displaystyle{ x_1=2x+3, \ x_2=2y+3, \ x_3=2z+3}\). Jak robiłeś inaczej, to się pochwal, chętnie się czegoś nauczymy