Zad 1)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ a ^{5}- a^{3} +a=2}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ a^{6}>3}\).
Zad 2)
Znajdź wszystkie liczby naturalne dodatnie \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ n^{3}+3}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n+3}\).
Zad 3)
Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, które przy dzieleniu przez 37 dają resztę 2, a przy dzieleniu przez 11 dają resztę 5.
Zad 4)
Wyznacz wszystkie całkowite wartości \(\displaystyle{ x}\) dla których wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{7x+1}{3x+4}}\) jest liczbą całkowitą.
Z góry dziękuję za wszelką pomoc.
Zadania z podzielności
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Zadania z podzielności
1) \(\displaystyle{ a(a^4-a^2+1) = 2}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a=0}\) to nie działa, a jeżeli \(\displaystyle{ a<0}\) to \(\displaystyle{ a(a^4-a^2+1) < 0}\), czyli \(\displaystyle{ a>0}\):
\(\displaystyle{ a(a^4-a^2+1) = 2 \Leftrightarrow a(a^6+1) = 2(a^2+1) \Leftrightarrow a^6 = 2(a+\frac{1}{a})-1}\)
Ale skoro \(\displaystyle{ a>0}\) to \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} \ge 2}\), dodatkowo oddzielnie sprawdzamy \(\displaystyle{ a=1}\), więc \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} > 2}\) czyli \(\displaystyle{ a^6 > 4-1 = 3}\) cnd.
2) \(\displaystyle{ \frac{n^3+3}{n+3} = n^2-3n+9-\frac{24}{n+3}}\)
Czyli \(\displaystyle{ n+3|24}\), teraz zostaje tylko sprawdzić parę przypadków.
3) \(\displaystyle{ \begin{cases} n \equiv 2\pmod{37}\\ n \equiv 5\pmod{11} \end{cases}}\)
Z 1 mamy \(\displaystyle{ n=37k+2}\) wstawiamy do 2:
\(\displaystyle{ 37k+2 \equiv 5\pmod{11} \Leftrightarrow 4k \equiv 3\pmod{11}/\cdot 3 \Leftrightarrow k \equiv 9\pmod{11} \Leftrightarrow k = 11a+9 \Rightarrow n = 37(11a+9)+2 = 407a+335}\)
Liczby trzycyfrowe dostaniemy jedynie dla \(\displaystyle{ a=0 \vee a=1}\) będą to \(\displaystyle{ 335,742}\)
4) \(\displaystyle{ \frac{7x+1}{3x+4} = \frac{2(3x+4)+x-7}{3x+4} = 2+\frac{x-7}{3x+4}}\)
Więc w szczególności ma zachodzić \(\displaystyle{ |x-7| \ge |3x+4|}\), uwzględniając to, że x jest całkowite dostajemy \(\displaystyle{ x\in \lbrace -5;-4;-3;-2;-1;0\rbrace}\), skąd tezę spełniają jedynie \(\displaystyle{ x\in \lbrace -3;-1\rbrace}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a=0}\) to nie działa, a jeżeli \(\displaystyle{ a<0}\) to \(\displaystyle{ a(a^4-a^2+1) < 0}\), czyli \(\displaystyle{ a>0}\):
\(\displaystyle{ a(a^4-a^2+1) = 2 \Leftrightarrow a(a^6+1) = 2(a^2+1) \Leftrightarrow a^6 = 2(a+\frac{1}{a})-1}\)
Ale skoro \(\displaystyle{ a>0}\) to \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} \ge 2}\), dodatkowo oddzielnie sprawdzamy \(\displaystyle{ a=1}\), więc \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} > 2}\) czyli \(\displaystyle{ a^6 > 4-1 = 3}\) cnd.
2) \(\displaystyle{ \frac{n^3+3}{n+3} = n^2-3n+9-\frac{24}{n+3}}\)
Czyli \(\displaystyle{ n+3|24}\), teraz zostaje tylko sprawdzić parę przypadków.
3) \(\displaystyle{ \begin{cases} n \equiv 2\pmod{37}\\ n \equiv 5\pmod{11} \end{cases}}\)
Z 1 mamy \(\displaystyle{ n=37k+2}\) wstawiamy do 2:
\(\displaystyle{ 37k+2 \equiv 5\pmod{11} \Leftrightarrow 4k \equiv 3\pmod{11}/\cdot 3 \Leftrightarrow k \equiv 9\pmod{11} \Leftrightarrow k = 11a+9 \Rightarrow n = 37(11a+9)+2 = 407a+335}\)
Liczby trzycyfrowe dostaniemy jedynie dla \(\displaystyle{ a=0 \vee a=1}\) będą to \(\displaystyle{ 335,742}\)
4) \(\displaystyle{ \frac{7x+1}{3x+4} = \frac{2(3x+4)+x-7}{3x+4} = 2+\frac{x-7}{3x+4}}\)
Więc w szczególności ma zachodzić \(\displaystyle{ |x-7| \ge |3x+4|}\), uwzględniając to, że x jest całkowite dostajemy \(\displaystyle{ x\in \lbrace -5;-4;-3;-2;-1;0\rbrace}\), skąd tezę spełniają jedynie \(\displaystyle{ x\in \lbrace -3;-1\rbrace}\)