wartość pi

[Arch_Stanton]

jaka jest relacja stałej \(\displaystyle{ \pi}\) wzgl \(\displaystyle{ x}\), gdzie:

\(\displaystyle{ x= 3+\frac{1}{ \frac{1}{7+ \frac{1}{15+ \frac{1}{1+ \frac{1}{292+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \sqrt{2} } } } } } } }}\)

Tzn, czy \(\displaystyle{ x=\pi}\)?

[szw1710]

Na pewno nie, bo ta liczba po obliczeniu wartości będzie miała postać \(\displaystyle{ a+b\sqrt{2}}\) z wymiernymi współczynnikami \(\displaystyle{ a,b}\) (ostatni mianownik odwracamy, jest ta postać, znowu odwracamy itd.) Oczywiście liczba \(\displaystyle{ \pi}\) nie ma tej postaci.

Wolfram Alpha (wystarczy skopiować kod LaTeX-a, zrozumie):

\(\displaystyle{ x=\frac{442103386-\sqrt{2}}{43935682}\approx 10{,}062513302645137}\)

[Arch_Stanton]

\(\displaystyle{ x = \frac{208341+104348 \sqrt{2} }{66317+33215 \sqrt{2} } = 3.141592654}\)

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ x = \frac{208341+104348 \sqrt{2} }{66317+33215 \sqrt{2} } = 3.141592654}\)

Ale po co ty się kolego z pierwiastkami męczysz?

Ze wzoru Wallisa \(\displaystyle{ \frac{4}{ \pi }= \frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot ...}{2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 8 \cdot ...}}\) dostaniesz ułamek łańcuchowy bez pierwiastków w stylu:

\(\displaystyle{ \frac{4}{ \pi } \approx 1+ \frac{1}{2+ \frac{9}{2+ \frac{25}{2+49} } }}\)

[Arch_Stanton]

Chodzi o to, czy da się to opisać za pomocą skończonej ilości działań przy użyciu liczb naturalnych i ich pierwiastków, wydawało mi się to niemożliwe więc chcę to sprawdzić.

[Psiaczek]

Chodzi o to, czy da się to opisać za pomocą skończonej ilości działań przy użyciu liczb naturalnych i ich pierwiastków, wydawało mi się to niemożliwe więc chcę to sprawdzić.

to co masz to tylko redukt czyli przybliżenie, tak jak ja napisałem w swoim wzorze. Dokładność jest w nieskończoności

podobnie \(\displaystyle{ \frac{355}{113}}\) jest tylko reduktem \(\displaystyle{ \pi}\) , no z tym że twój daje więcej cyfr po przecinku.