zadania na podzielność

[coldone]

Proszę o rozwiązanie zadań ; )
jeśli umiecie rozwiązać jakiekolwiek, będę wdzięczna ; >

1. Wykaż, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{ m^{3} }{6} + \frac{ m^{2} }{2} + \frac{ m }{3}}\) jest liczbą całkowitą dla każdego m należącego do naturalnych.

2. Liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę z dzielenia 3. Wykaż, że kwadrat liczby a powiększony o 1 jest podzielny przez 5.

3. Pewna liczba całkowita przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, a przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. jaką daję resztę ta liczba przy dzieleniu przez 12?

4. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych nie dzielących się przez 3 jest podzielna przez 3.

5. Rozwiąż w zbiorze liczb naturalnych równanie \(\displaystyle{ x^{2} = y^{2} + 2y + 12}\)

6. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 5^{12} - 4^{6}}\) jest podzielna przez 21.

7. Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba \(\displaystyle{ n^{3} + 3}\) jest podzielna przez n+3.

8. Dane są trzy różne cyfry. Wykaż, że suma wszystkich liczb, które można zapisać za pomocą tych cyfr jest podzielna przez 6.

9. Wykazać, że kolejne cyfry liczby trzycyfrowej tworzą ciąg rosnący, to liczba ta nie dzieli się przez 11.

10. Dane są liczby naturalne x i y, takie, że liczba 6x+11y jest podzielna przez 31. Udowodnij, że wówczas liczba x+7y jest również podzielna przez 31.

11. Udowodnij, że dla kolejnej liczby naturalnej dodatniej n liczba \(\displaystyle{ n^{4} + 2 n^{3}+ 2 n^{2} + 2n + 1}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej.

12. Znajdź wszystkie liczby n, dla których liczba \(\displaystyle{ n^{2} + 8n - 85}\) jest podzielna przez 101.

13. Wyznacz wszystkie naturalne liczby n, dla których liczba \(\displaystyle{ 4^{n} + 65}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

będę baaaaaardzo wdzięczna! <3

[chlorofil]

1/ \(\displaystyle{ \frac{m^3}{6} + \frac{m^2}{2} + \frac{m}{3} = \frac{m^3+3m^2+2m}{6}}\)

Wystarczy, że pokażemy, że \(\displaystyle{ m^3+3m^2+2m}\) jest podzielne przez 6. Rozpiszmy:

\(\displaystyle{ m^3+3m^2+2m = m(m^2+3m+2) = m(m+1)(m+2)}\)

Wśród 3 kolejnych liczb naturalnych dokładnie jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2, a więc wyrażenie jest podzielne przez 6.

2/ \(\displaystyle{ a = 5k + 3}\). Stąd: \(\displaystyle{ (5k+3)^2+1 = 25k^2+30k+9+1 = 25k^2 + 30k + 10 = 5(5k^2+6k+2)}\)

Dwa zadania rozwiązane na zachętę. W pozostałych musisz popróbować sam i powiedzieć, czego nie potrafisz zrobić, wtedy pomożemy.

[Kacperdev]

6 / Wystarczy zastosować wzory skróconego mnożenia:

\(\displaystyle{ 5^{12}-4^{6}=\left(2^{6}\right)^{2}-\left(4^{3}\right)^{2}=\left(5^{6}-4^{3}\right)\left( 5^{6}-4^{3}\right)}\)

teraz stosuje wzór na różnice sześcianów:

\(\displaystyle{ \left( 5^{2}\right)^{3}-4^{3}=(25-4)...}\)

Widać, że mamy już 21 przed nawiasem.

[chlorofil]

11/ Wskazówka:

\(\displaystyle{ n^4+2n^3+2n^2+2n+1 = n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1=n^2(n^2+2n+1)+(n^2+2n+1)=(n^2+1)(n^2+2n+1)=(n^2+1)(n+1)^2}\)

Teraz wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ n^2+1}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, co jest proste (dowód nie wprost - 2 linijki).

5/ Wskazówka:

\(\displaystyle{ x^2=y^2+2y+12\\x^2=y^2+2y+1+11\\x^2=(y+1)^2+11\\x^2-(y+1)^2=11\\(x-y-1)(x+y+1)=11}\)

Dalej już bardzo proste - sprawdza się na piechotę.

7/ Podstawiamy:
\(\displaystyle{ x-3=t \Rightarrow x=t+3\\x^3-3=(t+3)^3-3}\)

I teraz:
\(\displaystyle{ x-3 \ | \ x^3 - 3 \Leftrightarrow t \ | \ (t+3)^3-3\\(t+3)^3-3=t^3-9t^2+27t-24}\)

A ostatnie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 24 \ | \ t}\). Teraz trzeba wypisać te liczby całkowite \(\displaystyle{ t}\), które to spełniają. Będzie ich razem 16 (8 dodatnich i 8 ujemnych). Potem wracamy do oryginalnej zmiennej \(\displaystyle{ x}\).