Udowonić nierówność

[Filip311]

Witam, mam problem... Dostałem zadanie "Udowodnij, że jeżeli a i b są dowolnymi liczbami nieujemnymi, to spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ (a+b)(a+1)(b+1) \ge 8ab}\) " Nie mam żadnego pojęcia, jak się do tego zabrać... Już teraz dziękuje za poświęcony czas : )

[Vax]

Zauważ że dla dowolnych nieujemnych a,b zachodzi \(\displaystyle{ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0 \Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}}\), podobnie \(\displaystyle{ a+c \ge 2\sqrt{ac}}\) oraz \(\displaystyle{ b+c \ge 2\sqrt{bc}}\), mnożąc stronami dostajemy:

\(\displaystyle{ (a+b)(a+c)(b+c) \ge 8abc}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ c=1}\) dostajemy tezę.