udowodnic podzielnosć pewnej liczby

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
madziula1784
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 218
Rejestracja: 12 sty 2011, o 17:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

udowodnic podzielnosć pewnej liczby

Post autor: madziula1784 »

Wykorzystując małe twierdzenie fermata udowodnić że dla każdej liczby pierwszej p>5 liczba 240 dzieli \(\displaystyle{ p ^{4}-1.}\)
octahedron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3568
Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 910 razy

udowodnic podzielnosć pewnej liczby

Post autor: octahedron »

\(\displaystyle{ 240=16\cdot 3\cdot 5\\
p^4-1=(p^2-1)(p^2+1)=(p-1)(p+1)(p^2+1)\\}\)


z trzech kolejnych liczb \(\displaystyle{ p-1,p,p+1}\) jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Nie jest to \(\displaystyle{ p}\), bo to liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ 3}\), czyli musi to być \(\displaystyle{ p-1}\) lub \(\displaystyle{ p+1}\). Podobnie skoro p nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\), to dzielą się \(\displaystyle{ p-1}\) i \(\displaystyle{ p+1}\), jedna z nich dzieli się przez \(\displaystyle{ 4}\). \(\displaystyle{ p}\) musi być nieparzyste, czyli \(\displaystyle{ p^2+1}\) jest parzyste, więc podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\). Zatem \(\displaystyle{ p^4-1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3\cdot 2\cdot 4\cdot 2=48}\).

Z małego tw. Fermata wynika, że \(\displaystyle{ p^5-p=p(p^4-1)}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 5}\), ale ponieważ samo \(\displaystyle{ p}\) nie jest, przez \(\displaystyle{ 5}\) musi się dzielić \(\displaystyle{ p^4-1}\). Jest więc podzielne również przez \(\displaystyle{ 5\cdot 48=240}\)
ODPOWIEDZ