udowodnić że liczba jest parzysta

[madziula1784]

udowodnić że dla\(\displaystyle{ n \ge 3}\) liczba \(\displaystyle{ \varphi\left( n\right)}\) jest liczbą parzystą.

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ \varphi(n)=2n+1.}\) Wtedy liczba \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) jest nieparzysta.

Morał: wyrażaj się precyzyjnie. Ja wiem, co to jest \(\displaystyle{ \varphi(n)}\), ale nie każdy wie, zatem pisząc posty z jakimiś oznaczeniami nadawaj im sens:

Udowodnij, że jeśli ..., to ..., gdzie \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) oznacza ...

[Vax]

Rozpatrzmy dwa przypadki. Pierwszy, gdy n nie jest potęgą dwójki, czyli gdy zawiera w rozkładzie na czynniki pierwsze co najmniej jeden czynnik nieparzysty. Zapiszmy \(\displaystyle{ n = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot ... \cdot p_k^{a_k}}\), gdzie \(\displaystyle{ 2 \nmid p_1}\), wówczas korzystając z multiplikatywności funkcji Eulera otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \varphi(n) = \varphi(p_1^{a_1})\varphi(p_2^{a_2})\cdot ... \cdot \varphi(p_k^{a_k}) = p_1^{a_1-1}(p_1-1)\cdot ...}\)

Ale \(\displaystyle{ 2 \nmid p_1 \iff 2 \mid p_1-1}\), czyli dane wyrażenie istotnie jest parzyste.

Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki, tj \(\displaystyle{ n = 2^k , k \ge 2}\), wówczas:

\(\displaystyle{ \varphi(n) = \varphi(2^k) = 2^{k-1}\cdot (2-1)}\)

Co oczywiście również jest parzyste, cnd.