Pokazać prawdziwość twierdzenia dla dowolnych liczb n i k należących do zbioru liczb naturalnych
\(\displaystyle{ 2^{n}+2^{n-1}+...+2^{n-k}=2^{n+1}-2^{n-k}}\)
pokazać prawdziwość twierdzenia
-
matematix
- Użytkownik
- Posty: 574
- Rejestracja: 9 lip 2007, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 356 razy
- Pomógł: 14 razy
pokazać prawdziwość twierdzenia
Zauważ, że wyrazy sumy po lewej stronie są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. A zatem przyjmując \(\displaystyle{ a _{1}=2 ^{n}}\), \(\displaystyle{ q= \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ n=k+1}\) otrzymujemy ze wzoru na sumę \(\displaystyle{ k+1}\)wyrazów ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ L=S _{k+1}=2 ^{n} \cdot \frac{1-( \frac{1}{2}) ^{k+1} }{1- \frac{1}{2} }= 2^{n} \cdot 2(1- \frac{1}{2 ^{k+1} })=2 ^{n+1}( \frac{2 ^{k+1} -1}{2 ^{k+1} }) =2 ^{n+1-(k+1)}(2 ^{k+1}-1)=2 ^{n+1-(k+1)+(k+1)}-2 ^{n+1-k-1}=2 ^{n+1}-2 ^{n-k}=P}\).
\(\displaystyle{ L=S _{k+1}=2 ^{n} \cdot \frac{1-( \frac{1}{2}) ^{k+1} }{1- \frac{1}{2} }= 2^{n} \cdot 2(1- \frac{1}{2 ^{k+1} })=2 ^{n+1}( \frac{2 ^{k+1} -1}{2 ^{k+1} }) =2 ^{n+1-(k+1)}(2 ^{k+1}-1)=2 ^{n+1-(k+1)+(k+1)}-2 ^{n+1-k-1}=2 ^{n+1}-2 ^{n-k}=P}\).