Mam problem z udowodnieniem niewymierności następujących liczb:
a) \(\displaystyle{ cos \frac{\pi}{8}}\)
Tutaj jedynie udało mi się doprowadzić wyrażenie do postaci \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2}}}\)
b) \(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
c) \(\displaystyle{ tg 1^{o}}\)
w książce widnieje wskazówka żeby kilkukrotnie skorzystać ze wzoru na tg(a+b), ale nie widzę rozwiązania =P
d) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}- \sqrt{2}}\)
Bardzo proszę o pomoc i wytłumaczenie! Niby znalazłem rozwiązania do podpunktów a-c tutaj: ale jakoś i tak tego nie widzę ;/
Z góry dziękuję za poświęcony czas!
Udowodnić niewymierność
-
czekoladowy
- Użytkownik
- Posty: 331
- Rejestracja: 3 paź 2009, o 15:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 41 razy
Udowodnić niewymierność
Sam sobie dałeś odpowiedz , czego tam nie rozumiesz ??
w podpunkcie d) latwo pokazac przez sprzecznosc...
w podpunkcie d) latwo pokazac przez sprzecznosc...
Udowodnić niewymierność
a) Na stronie gościu używa tam znaku którego nie znam, to znaczy \(\displaystyle{ \int_{}^{}}\) . Domyślam się że da się to zrobić w inny sposób.
b) Czy przypadkiem nie powinno tam być że \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}-2+2 \sqrt{6}-3}\)? I skąd wiadomo że jedynymi dzielnikami są -1 i 1? Tzn. widać to, ale nie trzeba tego jakoś dowodzić?
c) dlaczego ze wzoru \(\displaystyle{ tg(n+1)= \frac{(tg1-tgn)}{(1-tg1 \cdot tgn)}}\) wynika ze tgn jest niewymierna?
b) Czy przypadkiem nie powinno tam być że \(\displaystyle{ W(x)=x^{2}-2+2 \sqrt{6}-3}\)? I skąd wiadomo że jedynymi dzielnikami są -1 i 1? Tzn. widać to, ale nie trzeba tego jakoś dowodzić?
c) dlaczego ze wzoru \(\displaystyle{ tg(n+1)= \frac{(tg1-tgn)}{(1-tg1 \cdot tgn)}}\) wynika ze tgn jest niewymierna?
-
marcinz
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Udowodnić niewymierność
\(\displaystyle{ \int}\) to jest symbol całki. Nie rozumiem co mu da, że \(\displaystyle{ \pi}\) jest niewymierne. W b) jest wszystko źle. Aby stosować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu musi mieć on współczynniki całkowite. Taki sam temat był niedawno dyskutowany Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.
Udowodnić niewymierność
Dzięki wielkie, wszystko już zrozumiałem z wyjątkiem \(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{8}}\). Tzn. wymyśliłem coś, ale nie wiem czy to jest poprawne, więc proszę o sprawdzenie! =)
Doszedłem do formy
\(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{8}=\sqrt{ \frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2}}}\)
No i dowód nie wprost:
Załóżmy że \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2}}}\) jest liczbą wymierną, więc
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2}} = \frac{p}{q}}\) takie że p,q \(\displaystyle{ \in}\) Z
Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{4p^{2}-2q ^{2} }{q ^{2} }}\)
Lewa część jest niewymierna, prawa część wymierna, zachodzi sprzeczność, co kończy dowód. Jest git? =)
Doszedłem do formy
\(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{8}=\sqrt{ \frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2}}}\)
No i dowód nie wprost:
Załóżmy że \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2}}}\) jest liczbą wymierną, więc
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1+ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{2}} = \frac{p}{q}}\) takie że p,q \(\displaystyle{ \in}\) Z
Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} = \frac{4p^{2}-2q ^{2} }{q ^{2} }}\)
Lewa część jest niewymierna, prawa część wymierna, zachodzi sprzeczność, co kończy dowód. Jest git? =)
Ostatnio zmieniony 19 paź 2011, o 17:46 przez r4czek, łącznie zmieniany 1 raz.