Oszacuj od góry i dołu

[maciekg]

Proszę o pomoc, mianowicie zadanie jest takie: oszacuj od góry i dołu przez potęgi dziesiątki:

a) \(\displaystyle{ 1000!}\)
b) \(\displaystyle{ 700!}\)

proszę o wytłumaczenie jak się za takie coś zabrać, z góry dziękuję

[chlorofil]

Tutaj mają dobre pomysły:

16471.htm

Poczytaj!

PS. Nie do końca, to odpowiada na pytanie ile jest zer na końcu, a nie ile jest cyfr. Jeśli chcesz oszacować przez potęgę dziesiątki to tak naprawdę pytanie się sprowadza do pytania ile cyfr w zapisie dziesiętnym mają podane liczby.

[Psiaczek]

oszacuj od góry i dołu przez potęgi dziesiątki:

a) \(\displaystyle{ 1000!}\)

Zależy jak dokładne te szacowania mają być, takie bardzo grube to można od ręki:

\(\displaystyle{ 1000!<1000^{1000}=10^{3000}}\)

Można pokazać przez indukcję że dla \(\displaystyle{ n \in N,n \ge 25}\) zachodzi \(\displaystyle{ n!>10^n}\)

stąd masz w drugą stronę \(\displaystyle{ 1000!>10^{1000}}\)

[fon_nojman]

a) Może tak

\(\displaystyle{ 10^n<1000! \Leftrightarrow n<\log 1000!=\sum_{k=2}^{1000} \log k.}\)