Udowdnij nieokresowość ułamka

[olgalagowska]

Udowodnij, że nieskończony ułamek dziesiętny \(\displaystyle{ 0.123456789101112...}\) jest nieokresowy.

[sebnorth]

Ułamkiem okresowym nazywamy ułamek dziesiętny nieskończony, w którym od
pewnego miejsca powtarza się pewna grupa cyfr.

Załóżmy, że liczba \(\displaystyle{ 0.123456789101112...}\) jest okresowa, okres zaczyna się powiedzmy od jakiegoś \(\displaystyle{ k}\)-tego miejsca. Ale nie jest ważne od którego, oznaczmy przez \(\displaystyle{ n}\) długość okresu. Rozpatrzmy \(\displaystyle{ m}\) takie, że \(\displaystyle{ m>n}\) oraz liczba \(\displaystyle{ 10^m}\) wypisywana w naszej liczbie ma cyfrę \(\displaystyle{ 1}\) na pozycji dalszej niż \(\displaystyle{ k}\). Załóżmy ponadto, że ilość cyfr liczby \(\displaystyle{ 10^m}\) czyli \(\displaystyle{ m+1}\) nie jest podzielna przez długość okresu \(\displaystyle{ n}\). Zatem cyfra \(\displaystyle{ 1}\) liczby \(\displaystyle{ 10^m +1}\) wystąpi na miejscu przesuniętym od pewnego zera liczby \(\displaystyle{ 10^m}\) o całkowitą wielokrotność długości okresu.

[olgalagowska]

Nie do konca zrozumialam. Czy ktos moglby wytlumaczyc troche prosciej?