Udowodnić na podstawie własności kongruencji

[Tomaszko]

Witam.
Mam sprawdzić, korzystając z własności kongruencji, że dla każdej liczby naturalnej n:
a) \(\displaystyle{ 31 | 2^{5n}-1}\)
b) \(\displaystyle{ 13 | 1+3^{3n+1}+9^{3n+1}}\)

Proszę o wskazówki

[Vax]

1) \(\displaystyle{ 2^{5n}-1 \equiv 32^n-1 \equiv 1^n-1 \equiv 0\pmod{31}}\)

2) \(\displaystyle{ 1+3^{3n+1}+9^{3n+1} \equiv 1+3\cdot 3^{3n} + 9\cdot 9^{3n} \equiv 1+3\cdot 27^n + 9\cdot 27^{2n} \equiv 1+3\cdot 1 + 9\cdot 1 \equiv 13\equiv 0\pmod{13}}\)

[Tomaszko]

a dlaczego

\(\displaystyle{ 32^n-1 \equiv 1^n-1}\)

?

[Vax]

Bo \(\displaystyle{ 32 \equiv 1\pmod{31} /^n \Rightarrow 32^n \equiv 1^n \equiv 1\pmod{31}}\)

[Tomaszko]

Teraz już wszystko jasne:)
Dzięki wielkie,
pozdrawiam