liczby wymierne
-
darek20
- Użytkownik
- Posty: 874
- Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: wszedzie
- Podziękował: 248 razy
- Pomógł: 10 razy
liczby wymierne
Pokaż że kazdą liczbę wymierną da się przedstawić w postaci sumy różnych składników zbioru \(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{1} , \frac{1}{2} , \frac{1}{3}... \right\}}\)
Ostatnio zmieniony 13 paź 2011, o 23:49 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Dodane skalowanie nawiasów.
Powód: Dodane skalowanie nawiasów.
-
eMaerthin
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 12 paź 2011, o 19:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 10 razy
liczby wymierne
Zadanie nieprawdziwe jeśli rozważamy wszystkie liczby wymierne. Jeśli zawęzimy nasz obszar do liczb wymiernych dodatnich, to wtedy ma sens.
Suma wszystkich wyrazów powyższego zbioru (kolejne elementy tworzą kolejne wyrazy ciągu harmonicznego) jest rozbieżna do nieskończoności. Wobec tego nasze postępowanie będzie słuszne:
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie zadaną liczbą wymierną dodatnią, którą chcemy przedstawić w postaci sumy różnych ułamków egipskich (czyli tych typu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)). Rozpatrujmy kolejne liczby ze zbioru (uporządkowanego jak napisałeś w sposób malejący) w poniższy sposób:
Niech \(\displaystyle{ S_0=0}\) i \(\displaystyle{ S_i}\) oznacza sumę wybranych elementów po pierwszych \(\displaystyle{ i}\) krokach ze zbioru ponumerowanego \(\displaystyle{ \{a_1=\frac{1}{1}, a_2=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3}, ...\}}\).
Oto schemat pojedynczego kroku: w \(\displaystyle{ i}\)-tym kroku jeśli \(\displaystyle{ a_i+S_{i-1}>x}\), to \(\displaystyle{ S_i=S_{i-1}}\), a w przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ S_i=S_{i-1}+a_i}\).
Kontynuujmy proceder, póki \(\displaystyle{ S_i\neq x}\).
Wystarczy pokazać, że przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Q}_+}\) nasza zabawa zawsze się skończy po skończonej ilości kroków, co zostawiam Tobie.
Suma wszystkich wyrazów powyższego zbioru (kolejne elementy tworzą kolejne wyrazy ciągu harmonicznego) jest rozbieżna do nieskończoności. Wobec tego nasze postępowanie będzie słuszne:
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie zadaną liczbą wymierną dodatnią, którą chcemy przedstawić w postaci sumy różnych ułamków egipskich (czyli tych typu \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)). Rozpatrujmy kolejne liczby ze zbioru (uporządkowanego jak napisałeś w sposób malejący) w poniższy sposób:
Niech \(\displaystyle{ S_0=0}\) i \(\displaystyle{ S_i}\) oznacza sumę wybranych elementów po pierwszych \(\displaystyle{ i}\) krokach ze zbioru ponumerowanego \(\displaystyle{ \{a_1=\frac{1}{1}, a_2=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3}, ...\}}\).
Oto schemat pojedynczego kroku: w \(\displaystyle{ i}\)-tym kroku jeśli \(\displaystyle{ a_i+S_{i-1}>x}\), to \(\displaystyle{ S_i=S_{i-1}}\), a w przeciwnym wypadku \(\displaystyle{ S_i=S_{i-1}+a_i}\).
Kontynuujmy proceder, póki \(\displaystyle{ S_i\neq x}\).
Wystarczy pokazać, że przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Q}_+}\) nasza zabawa zawsze się skończy po skończonej ilości kroków, co zostawiam Tobie.