Liczby calkowite
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 28 paź 2010, o 13:05
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 8 razy
Liczby calkowite
Udowodnij, ze jesli liczba \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a}}\), jest liczba calkowita, to rowniez \(\displaystyle{ a^k+\frac{1}{a^k}}\) jest liczba calkowita.
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 9 sie 2010, o 14:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 5 razy
Liczby calkowite
Skorzystamy z indukcji matematycznej.
Dla k=1 założenie zadania
Dla k=2
\(\displaystyle{ a ^{2} + \frac{1}{a^{2}} = \left( a+ \frac{1}{a} \right) ^{2} - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}}\)
Skoros \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a}}\) jest liczbą całkowitą to
\(\displaystyle{ \left( a+ \frac{1}{a} \right) ^{2}}\) teź jest liczą całkowitą.
Liczba dwa jest liczbą całkowitą. Liczba całkowita minus liczba całkowita to liczba całowita.
Zatem \(\displaystyle{ a^{2} + \frac{1}{a^{2}}}\) jest liczbą całkowitą.
Teraz zakładamy, że dla n=2,3, ... k-1 \(\displaystyle{ a ^{n} + \frac{1}{a^{n}}}\) jest liczbą całkowitą.
Musimy pokazać, że \(\displaystyle{ a ^{k} + \frac{1}{a^{k}}}\) też jest liczbą całkowitą.
Aby to udowdnić trzeba \(\displaystyle{ a ^{k} + \frac{1}{a^{k}}}\) rozpisać analogicznie jak dla 2 korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ a ^{k} + \frac{1}{a^{k}} = \left( a+ \frac{1}{a} \right) ^{k}- {n \choose 1}a^{k-1}\frac{1}{a}-
{n \choose 2}a^{k-2}\frac{1}{a^{2}}-}\) ...itd
Dla k=1 założenie zadania
Dla k=2
\(\displaystyle{ a ^{2} + \frac{1}{a^{2}} = \left( a+ \frac{1}{a} \right) ^{2} - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}}\)
Skoros \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a}}\) jest liczbą całkowitą to
\(\displaystyle{ \left( a+ \frac{1}{a} \right) ^{2}}\) teź jest liczą całkowitą.
Liczba dwa jest liczbą całkowitą. Liczba całkowita minus liczba całkowita to liczba całowita.
Zatem \(\displaystyle{ a^{2} + \frac{1}{a^{2}}}\) jest liczbą całkowitą.
Teraz zakładamy, że dla n=2,3, ... k-1 \(\displaystyle{ a ^{n} + \frac{1}{a^{n}}}\) jest liczbą całkowitą.
Musimy pokazać, że \(\displaystyle{ a ^{k} + \frac{1}{a^{k}}}\) też jest liczbą całkowitą.
Aby to udowdnić trzeba \(\displaystyle{ a ^{k} + \frac{1}{a^{k}}}\) rozpisać analogicznie jak dla 2 korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ a ^{k} + \frac{1}{a^{k}} = \left( a+ \frac{1}{a} \right) ^{k}- {n \choose 1}a^{k-1}\frac{1}{a}-
{n \choose 2}a^{k-2}\frac{1}{a^{2}}-}\) ...itd
Ostatnio zmieniony 8 paź 2011, o 12:19 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.
Powód: Poprawa wiadomości - skalowanie nawiasów.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Liczby calkowite
Nie no, można o wiele prościej, korzystając z tego, że:
\(\displaystyle{ \left( a+\frac 1a\right) \left( a^k+\frac{1}{a^k}\right) =a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}+a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}}\)
Q.
\(\displaystyle{ \left( a+\frac 1a\right) \left( a^k+\frac{1}{a^k}\right) =a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}+a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 88
- Rejestracja: 28 paź 2010, o 13:05
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 8 razy
Liczby calkowite
Korzystajac z tego, jak mozna wyjasnic ze to bedzie liczba calkowita?Qń pisze:Nie no, można o wiele prościej, korzystając z tego, że:
\(\displaystyle{ \left( a+\frac 1a\right) \left( a^k+\frac{1}{a^k}\right) =a^{k+1}+\frac{1}{a^{k+1}}+a^{k-1}+\frac{1}{a^{k-1}}}\)
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Liczby calkowite
Sprawdź prawdziwość tezy dla \(\displaystyle{ k=1,2}\) (podstawa indukcji), a następnie załóż, że twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ k-1,k}\) i wywnioskuj z tego prawdziwość dla \(\displaystyle{ k+1}\) (krok indukcyjny).Qń pisze:Wskazówka: indukcja matematyczna.
Q.