uzasadni ze podane liczby sa niewymierne

[norwimaj]

Można tak. To jest to samo rozumowanie, inaczej zapisane.

[pacia1620]

okej dziekuje )

[Marcinek665]

Na sumy i różnice pierwiastków jest prosty i sprawdzony sposób:

Poszukamy sobie wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem będzie liczba \(\displaystyle{ x= \sqrt{5} - \sqrt{3}}\):

\(\displaystyle{ x= \sqrt{5} - \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ x^2= 8 - 2\sqrt{15}}\)

\(\displaystyle{ x^2 - 8 = - 2\sqrt{15}}\)

\(\displaystyle{ x^4 - 16x^2 + 64 = 60}\)

\(\displaystyle{ x^4 - 16x^2 + 4 = 0}\).

Zatem liczba \(\displaystyle{ \sqrt{5} - \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x) = x^4 - 16x^2 + 4}\).

Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych, jeśli wielomian ma pierwiastek wymierny, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego (mianownik jest równy \(\displaystyle{ 1}\)). Sprawdzamy ręcznie, że \(\displaystyle{ W(-4)}\), \(\displaystyle{ W(-2)}\), \(\displaystyle{ W(-1)}\), \(\displaystyle{ W(1)}\), \(\displaystyle{ W(2)}\) i \(\displaystyle{ W(4)}\) są różne od zera, więc wszystkie pierwiastki jakie on ma, są niewymierne, czego należało dowieść.

Co do \(\displaystyle{ \log_{3}2}\) jest jeszcze łatwiej. Niech \(\displaystyle{ \log_{3}2=x}\). Wprost z definicji mamy, że \(\displaystyle{ \log_{3}2=x \Leftrightarrow 3^x = 2}\). Nie wprost niech zatem \(\displaystyle{ x}\) będzie wymierny, czyli \(\displaystyle{ x=\frac{p}{q}, \ p,q \in \mathbb{Z}_{+}}\)

\(\displaystyle{ 3^x = 2 \Leftrightarrow 3^{\tfrac{p}{q}} = 2 \Leftrightarrow 3^p = 2^q}\)

Jednak lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), a prawa nie, sprzeczność, skąd wynika, że \(\displaystyle{ x}\) jest niewymierny.

[banita 17]

Witam. Nie bardzo mogę zrozumieć metodę niewprost, a właściwie jednego jej elementu. Chodzi mi o to, że: "Zauważ, że lewa strona jest podzielna przez 3, więc musi istnieć takie k, że p = 3k . Dalej spróbuj sama." (k należy do całkowitych)

Czyli jeżeli lewa strona jest podzielna przez 3 więc prawa również jest podzielna przez 3. Ale skąd to się bierze? Robiąc w ten sposób ale na dwóch przykładowych liczbach np. : \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) = \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) , po podniesieniu do kwadratu i przekształceniu otrzymujemy 3 * 9 = 4. więc o ile lewa strona faktycznie jest podzielna przez 3 to prawa już nie. Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć?

[Kaf]

banita 17, o to właśnie chodzi w tej metodzie - dojść do sprzeczność przy założeniu zaprzeczenia tezy którą chcemy udowodnić. Więc skoro wyszło Ci \(\displaystyle{ 3 \cdot 9=4}\) (co oczywiście jest nieprawdziwe), to tym samym \(\displaystyle{ \sqrt{3} \neq \frac{2}{3}}\).