Udowodnij Zadania na udowadnianie twierdzeń.

[Rethie]

1.Udowodnij, że różnica czwartych potęg dwóch liczb z których pierwsza przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1 a druga 2 jest wielokrotnością 5.

2. wykaż, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej większej od 3 i liczby pierwszej parzystej jest podzielna przez3

Dziękuję z góry, jeśli zły temat przepraszam, ale jestem nowy.

[anna_]

1.
\(\displaystyle{ 5k+1}\) - I liczba
\(\displaystyle{ 5n+2}\) - II liczba

\(\displaystyle{ (5k+1)^4-(5n+2)^4=[(5k+1)^2+((5n+2))^2][(5k+1)^2-((5n+2))^2]=(25k^2 + 10k + 25n^2 + 20n + 5)(25k^2 + 10k - 25n^2 - 20n - 3)=5(5k^2 + 2k + 5n^2 + 4n + 1)(25k^2 + 10k - 25n^2 - 20n - 3)}\)

Jeśli chodzi o drugie to jedyną liczbą pierwszą parzystą jest \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ p}\) - liczba pierwsza (\(\displaystyle{ p>3}\))
Trzeba więc udowodnić, że \(\displaystyle{ p^2-2^2}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\), ale niestety na to pomysłu nie mam.

[Rethie]

Dziękuję bardzo, a mogłaby mi Pani pomóc jeszcze z zadaniami:

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb całkowitych a i b ab(a+b) jest parzysta.
2. Udowodnij, że reszta z dzielenia przez 30 dowolnej liczby pierwszej wynosi albo jeden albo jest liczbą pierwszą.

Dziękuje z góry.

[anna_]

Mam to drugie.
Każda liczba pierwsza większa od 3 jest postaci \(\displaystyle{ 6n-1}\) lub \(\displaystyle{ 6n+1}\)dla pewnej liczby naturalnej.
(dowód 'pomocniczy' masz na PW)


\(\displaystyle{ p^2-2^2=(6n-1)^2-4=36n^2 - 12n + 1-4=36n^2 - 12n - 3=3(12n^2-4n-1)}\)
lub
\(\displaystyle{ p^2-2^2=(6n+1)^2-4=36n^2 +12n + 1-4=36n^2 +12n - 3=3(12n^2+4n-1)}\)

-- dzisiaj, o 16:54 --

1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb całkowitych a i b ab(a+b) jest parzysta.

Mogą zajść przypadki:
a) obie liczby są parzyste
b) obie liczby są nieparzyste
c) jedna z liczb jest parzysta druga nieparzysta (w przypadku, gdy badamy \(\displaystyle{ ab(a+b)}\)bez znaczenia która)

a)
\(\displaystyle{ a=2n}\)
\(\displaystyle{ b=2m}\)
\(\displaystyle{ ab(a+b)=2n \cdot 2m(2n+2m)=8nm(n+m)}\) <- liczba parzysta

b)
\(\displaystyle{ a=2n+1}\)
\(\displaystyle{ b=2m+1}\)
\(\displaystyle{ ab(a+b)=(2n +1)\cdot (2m+1)[(2n+1)+(2m+1)]=(2n +1)\cdot (2m+1)[2n+2m+2]=2(2n +1)\cdot (2m+1)(n+m+1)}\)<- liczba parzysta

c)
\(\displaystyle{ a=2n}\)
\(\displaystyle{ b=2m+1}\)
\(\displaystyle{ ab(a+b)=2n \cdot (2m+1)(2n+2m+1)}\)<- liczba parzysta

-- dzisiaj, o 17:21 --

2. Udowodnij, że reszta z dzielenia przez 30 dowolnej liczby pierwszej wynosi albo jeden albo jest liczbą pierwszą.

Trochę chyba naciągane, ale innego pomysłu nie mam. (wzorowałam się na tym dowodzie, do którego linka wysłałam na PW)

Trzeba wykazać, że \(\displaystyle{ p=30n+1}\), lub \(\displaystyle{ p=30n+p_1}\), gdzie \(\displaystyle{ p_1}\) liczba piewrsza.


Każdą liczbę naturalną możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ m=30k+r}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest pewną liczbą całkowitą, a \(\displaystyle{ r\in\left\{ 0,1,2,...,29\right\}}\) jest resztą z dzielenia liczby przez 30.
Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ r}\) jest jedną z liczb: \(\displaystyle{ 0,2,4,...,28}\) to \(\displaystyle{ m=30k+r}\) jest liczbą parzystą.
Jeżeli \(\displaystyle{ r}\) jest jedną z liczb: \(\displaystyle{ 0,3,6,...,27}\) to \(\displaystyle{ m=30k+r}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ r}\) jest jedną z liczb: \(\displaystyle{ 0,4,8,...,28}\) to \(\displaystyle{ m=30k+r}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 4}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ r}\) jest jedną z liczb: \(\displaystyle{ 0,5,10,15,20,25}\) to \(\displaystyle{ m=30k+r}\) jest liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ 5}\).

Oznacza to, że dla liczby pierwszej \(\displaystyle{ r}\) musi być jedną z liczb: \(\displaystyle{ 1,7,11,13,17,19,23,29}\)

[exupery]

2. wykaż, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej większej od 3 i liczby pierwszej parzystej jest podzielna przez3

Jeżeli p jest większe od 3 i jest liczbą pierwszą to zachodzi:
\(\displaystyle{ p^2\equiv_{3} 1}\)

[Vax]

2. wykaż, że różnica kwadratów dowolnej liczby pierwszej większej od 3 i liczby pierwszej parzystej jest podzielna przez3

Jeżeli p jest większe od 3 i jest liczbą pierwszą to zachodzi:
\(\displaystyle{ p^2\equiv_{3} 1}\)

To jest teza...

[Rethie]

Dziękuję

Mam jeszcze prośbę o rozwiązanie banalnego zadania ale jakoś nie mam pomysłu.

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n(n+1)(2n+1) jest podzielna przez 6.

[Vax]

Masz więc pokazać podzielność przez 2 i 3, przez 2 wynika od razu z tego, że mamy iloczyn \(\displaystyle{ n(n+1)}\) co jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych, w których zawsze znajdzie się jedna liczba podzielna przez 2. Zostało pokazać podzielność przez 3, jeżeli \(\displaystyle{ n=3k}\) to \(\displaystyle{ 3|n}\), jeżeli \(\displaystyle{ n=3k+1}\) to \(\displaystyle{ 3 | 2n+1}\) a jeżeli \(\displaystyle{ n=3k+2}\) to \(\displaystyle{ 3 | n+1}\) więc liczba ta dzieli się przez \(\displaystyle{ 2\cdot 3=6}\) cnd.

[exupery]

czemu to niby jest teza? wg mnie to jest wskazówka, jeżeli udowodni to co napisałem to będzie w domu:)

Szkic dowodu:
\(\displaystyle{ p=3k+1 \\ p^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1 \rightarrow p^2\equiv_{3}1}\)
analogicznie dla \(\displaystyle{ p=3k+2}\)

[Vax]

To jest równoważne tezie Mamy dowieść, że \(\displaystyle{ 3 | p^2 - 4 \Leftrightarrow p^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}}\) a to jest to co napisałeś